§ 77. Кинетическое уравнение для квазичастиц в бозе-жидкости

Если длина пробега квазичастиц в сверхтекучей бозе-жидкости мала по сравнению с характерными размерами задачи, движение жидкости описывается уравнениями двухскоростной гидродинамики Ландау (см. VI, гл. XVI). Диссипативные члены в этих уравнениях содержат несколько кинетических коэффициентов (коэффициент теплопроводности и четыре коэффициента вязкости). Вычисление этих коэффициентов требует детального рассмотрения различных процессов рассеяния, многообразие которых связано с существованием двух типов квазичастиц — фононов и ротонов. В реальном жидком гелии ситуация усложняется еще и неустойчивостью начального участка фононного спектра. Эти вопросы здесь рассматриваться не будут.

Длины свободного пробега квазичастиц возрастают с понижением температуры (уже хотя бы из-за уменьшения плотности числа квазичастиц).

Поэтому при достаточно низких температурах легко возникает существенная неравновесность системы квазичастиц. В этих условиях уравнения двухскоростной гидродинамики неприменимы. Более того, вообще теряют смысл понятия температуры и нормальной скорости - их можно определить только по равновесному распределению квазичастиц; вместе с теряет смысл и разделение плотности жидкости на сверхтекучую и нормальную части. Полная же плотность и сверхтекучая скорость v, сохраняют свой смысл, являясь в этом аспекте по существу механическими переменными. Полная система уравнений, описывающих сверхтекучую жидкость, должна состоять теперь из кинетического уравнения для функции распределения квазичастиц , уравнения непрерывности для плотности и уравнения для скорости

Кинетическое уравнение имеет обычный вид

где — энергия квазичастицы, зависящая как от параметра от скорости сверхтекучего движения обозначение сохраняем для энергии квазичастицы в покоящейся жидкости. Связь между выясняется следующими рассуждениями.

По определению, есть закон дисперсии квазичастиц в системе отсчета в которой Иными словами, при наличии всего одной квазичастицы энергия жидкости (отсчитываемая от энергии при ) есть а ее импульс совпадает с импульсом квазичастицы . Совершим галилеевское преобразование в неподвижную систему отсчета К, в котором сверхтекучая скорость равна . В этой системе энергия и импульс массы М жидкости есть

Отсюда видно, что в жидкости, совершающей сверхтекучее движение, энергия квазичастицы есть

(ср. рассуждения при выводе условия сверхтекучести в IX, § 23).

Таким образом, фигурирующие в кинетическом уравнении производные

Во втором равенстве учтено, что энергия может зависеть от координат за счет переменной плотности , от которой зависит как от параметра. Учтено также (при преобразовании производной от ), что сверхтекучее движение всегда потенциально,

Уравнение непрерывности для плотности есть

где i, по определению, есть импульс единицы объема жидкости. Выражение для i можно найти прямо из второй формулы (77,2), просуммировав ее по всем квазичастицам в этом Объеме:

Здесь и ниже в этом параграфе угловые скобки означают интегрирование по импульсному распределению:

Остается найти уравнение для сверхтекучей скорости, Для этого исходим из закона сохранения импульса, выражаемого уравнением

где i дается формулой (77,7), а —тензор потока импульса.

Пусть — значение этого тензора в системе отсчета . Совершив преобразование к системе К, получим

- импульс единицы объема жидкости в системе

Этим определяется зависимость «тензора от скорости

Для дальнейшего преобразования уравнения (77,8) вернемся к кинетическому уравнению (77,1), умножим его на и проинтегрируем по . Ввиду сохранения суммарного импульса квазичастиц при столкновениях, правая сторона уравнения обратится в нуль. Интеграл же в левой стороне уравнения преобразуем точно так, как это делалось в § 74 (при выводе (74.10)), и находим

Подставим теперь в (77,8) выражения (77,7) и (77,9) для и затем исключим с помощью (77,6) и (77.10). В результате получим

условия (учтенного уже и во втором члене) следует, что сумма трех последних членов должна быть градиентом некоторой функции. Кроме того, тензор в отсутствие квазичастиц должен быть равен где (-давление жидкости при Из этих требований однозначно следует вид тензора

Уравнение для принимает теперь вид

где - химический потенциал жидкости (при связанный с давлением термодинамическим соотношением ( - масса частицы жидкости, — молекулярный объем).

Уравнения (77,1), (77,6), (77,12) составляют полную систему уравнений, описывающих сверхтекучую жидкость в неравновесном состоянии (И. М. Халатников, 1952).

Остановимся еще, для полноты, на законе сохранения энергии. Он выражается уравнением вида

(77,13)

где q — плотность потока энергии жидкости. Согласно (77,2),

где - энергия при связанная с химическим потенциалом соотношением

Дифференцируя выражение (77,14) по времени и используя известные уже уравнения для всех величин, можно найти плотность потока энергии. Опустив вычисления, приведем окончательный результат

(77,15)

Равновесная функция распределения квазичастиц в системе отсчета, в которой «газ квазичастиц» как целое покоится (т. е. нормальная скорость есть обычное распределение Бозе с энергией квазичастицы , даваемой выражением (77,3). Распределение же в системе отсчета, в которой нормальная скорость отлична от нуля, получается заменой на Таким образом, равновесное распределение квазичастиц при наличии обоих движений есть

(77,16)

Путем усреднения полученных выше уравнений по этому распределению можно получить систему уравнений двухскоростной гидродинамики (в этом приближении без диссипативных членов); мы на этом здесь останавливаться не будем.