§ 28. Пространственная дисперсия в плазме

Перепишем уравнения (27,10) в виде, более обычном для макроскопической электродинамики, введя в них наряду с напряженностью Е также и электрическую индукцию D. При этом мы определим вектор электрической поляризации Р соотношениями

непротиворечивость этих двух формул обеспечивается уравнением непрерывности (мы вернемся еще к этому определению ниже в этом параграфе). Тогда уравнения (27,10) примут вид

В слабых полях связь индукции D с напряженностью Е линейна. Но уже в обычных средах эта связь не имеет мгновенного характера по времени: значение в некоторый момент времени t зависит, вообще говоря, от значений не только в тот же, но и во все предшествующие моменты времени (см. VIII, § 58). В плазме к этому добавляется еще и нелокальность связи: значение D(t,r) в некоторой точке пространства зависит от значений не только в той же точке, но, вообще говоря, и во всем объеме плазмы. Это свойство связано с тем, что «свободное» (т. е. без столкновений) движение частиц в плазме определяется значениями поля на всей их траектории.

Наиболее общая линейная связь между функциями может быть записана в виде

Для пространственно-однородной плазмы ядро интегрального оператора зависит только от разности пространственных

Обозначив , перепишем эту связь в виде

Как обычно, путем разложения в ряд или интеграл Фурье можно представить поле в виде совокупности плоских волн, в которых Е и D пропорциональны . Для таких волн связь D с Е принимает вид

где тензор диэлектрической проницаемости

Из этого определения непосредственно следует, что

Таким образом, нелокальность связи между Е и D приводит к тому, что диэлектрическая проницаемость плазмы оказывается функцией не только от частоты, но и от волнового вектора; об этой последней зависимости говорят как о пространственной дисперсии, подобно тому, как зависимость от частоты называют временной (или частотной) дисперсией.

Вернувшись к уравнениям (28,1-2), напомним, что при формулировке уравнений Максвелла для переменных полей в обычных средах наряду с диэлектрической поляризацией Р вводится также и намагниченность М, причем средний микроскопический ток разлагается на две части в плоской волне эти выражения сводятся к . Но при наличии пространственной дисперсии, когда все величины все равно зависят от к, такое разделение нецелесообразно.

Отметим также, что, если ток j и плотность зарядов целиком включены в определение поляризации Р (как это сделано в (28,1)), последняя зависит, вообще говоря, как от электрического поля Е, так и от магнитного поля В. Но поле В можно выразить через Е согласно первой паре уравнений Максвелла (28,2), содержащей только эти две величины, т. е. (для плоской волны) согласно . Тогда и поляризация Р окажется выраженной только через Е, что и подразумевается в определении согласно (28,3-5).

Зависимость от волнового вектора вносит в функции выделенное направление — направление ее аргумента k. Поэтому при наличии пространственной дисперсии диэлектрическая проницаемость является тензором даже в изотропной среде.

Общий вид такого тензора можно представить в форме

При умножении на первый член в (28,7) дает в индукцию D вклад, перпендикулярный волновому вектору, а второй член — вклад, параллельный к. Для полей Е, перпендикулярных к или направленных по k, связь между D и Е сводится соответственно к или Скалярные функции называют соответственно поперечной и продольной проницаемостями. Они зависят от двух независимых переменных — частоты и абсолютной величины волнового Еектора k. При выделенное направление исчезает, и тогда тензор должен сводиться к виду где — обычная скалярная проницаемость, учитывающая лишь частотную дисперсию. Соответственно предельные значения функций одинаковы и равны

Согласно (28,6) скалярные функции обладают свойством

Пространственная дисперсия не влияет на свойства как функций комплексной переменной . Для этих функций остаются в силе все известные результаты (см. VIII, § 62), относящиеся к проницаемости обычных сред без пространственной дисперсии.

В этой главе мы будем рассматривать только изотропную плазму. Подчеркнем, что это предполагает не только отсутствие внешнего магнитного поля, но и изотропию функции распределения частиц по импульсам (в невозмущенной полем плазме). В противном случае появляются новые выделенные направления и тензорная структура усложняется.

Уже было указано, что происхождение пространственной дисперсии в плазме связано с зависимостью «свободного» движения частиц от значений поля вдоль их траектории. Фактически, конечно, существенное влияние на движение частицы в каждой точке ее траектории оказывают значения поля не на всей траектории, а лишь на некоторых ее отрезках не слишком большой длины. Порядок величины этих длин может определяться двумя механизмами: столкновениями, нарушающими. свободное движение по траектории, или усреднением осциллирующего поля за время пролета частицы по траектории. Для первого механизма характерным расстоянием является длина свободного пробега Частицы , а для второго — расстояние , на которое частица, двигаясь со средней скоростью , перемещается за время одного периода поля.

В выражении (28,3) дальности корреляции между значениями D и Е в различных точках пространства соответствуют расстояния гкор, на которых существенно убывает функция . Можно утверждать, следовательно, что порядок величины этих расстояний дается меньшей из двух величин, I или (причем надо брать ее для тех частиц — электронов или ионов, которых она имеет большее значение). Если то меньшей является величина и тогда

(28,10)

Пространственная дисперсия значительна при и исчезает при в последнем случае в (28,5) можно заменить и интеграл перестает зависеть от k. С из (28,10) мы находим, следовательно, что пространственная дисперсия существенна для волн, фазовая скорость которых сравнима или меньше средней скорости частиц в плазме. В обратном предельном случае при

(28,11)

пространственная дисперсия несущественна.

Важно, что значения гкор в плазме могут быть велики по сравнению со средними расстояниями между частицами Именно это условие делает возможным макроскопическое описание пространственной дисперсии в терминах диэлектрической проницаемости даже тогда, когда дисперсия значительна. Напомним (см. VIII, § 83), что в обычных средах роль длины корреляции играют атомные размеры и потому уже условие применимости макроскопической теории требует соблюдения неравенства (длина волны должна быть велика по сравнению с атомными размерами); именно поэтому в таких средах пространственная дисперсия (проявляющаяся, например, в так называемой естественной оптической активности) всегда оказывается лишь малой поправкой.