§ 65. Неустойчивость конечных систем

Вся изложенная в §§ 61—63 теория относилась к однородным средам, бесконечно протяженным по крайней мере в одном направлении (ось ). При применении к реальным ограниченным системам это значит, что пренебрегается эффектами, связанными с отражением волн от границ; другими словами, такая теория ограничена временами порядка величины времени распространения возмущения по длине системы.

Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости в обратной ситуации, когда конечность системы существенна и спектр ее собственных колебаний определяется граничными условиями на концах (при этом мы по-прежнему ограничиваемся одномерным случаем; длину системы вдоль оси обозначим через L). Спектр частот конечной системы дискретен, и, если хотя бы одна из собственных частот имеет положительную мнимую часть, система неустойчива. Различие между случаями абсолютной и конвективной неустойчивости теряет здесь смысл.

Таким образом, вопрос о выяснении устойчивости или неустойчивости конечной системы эквивалентен вопросу о нахождении спектра ее (комплексных) собственных частот. Дисперсионное уравнение, определяющее эти частоты, может быть установлено в общем виде для системы хотя и конечных, но достаточно больших размеров (А. Г. Куликовский, 1966).

Пусть - решения дисперсионного уравнения неограниченной среды; ветви этой многозначной функции снова разобьем на две категории, , определенные в § 63. Собственные колебания конечной системы можно рассматривать как результат наложения бегущих волн, отраженных от двух ее границ (в среде без поглощения и усиления это были бы обычные стоячие волны).

Отражение сопровождается, вообще говоря, взаимным превращением волн, относящихся к различным ветвям спектра. Поэтому бегущая волна заданной частоты представляет собой суперпозицию всех ветвей. Но вдали от границ основной вклад в каждую волну дает лишь один из членов суперпозиции.

Так, для волны, распространяющейся от левой границы, (рис. 26), в положительном направлении оси асимптотическое выражение вдали от этой границы имеет вид

причем в качестве должна быть выбрана та из ветвей этой категории, для которой имеет (при заданном вещественном ) алгебраически наименьшее значение.

Рис. 26.

После отражения от правой границы волна распространяется влево и на достаточно больших расстояниях от этой границы имеет асимптотический вид

где — та из ветвей этой категории, для которой имеет алгебраически наибольшее значение. Коэффициент же зависит от закона трансформации волн на данной конкретной границе.

Наконец, после второго отражения на этот раз от левой границы снова получим волну, распространяющуюся вправо:

Ввиду однозначности выражение (65,3) должно совпадать с (65,1). Отсюда находим равенство

Оно определяет спектр частот со конечной системы, т. е. является ее дисперсионным уравнением.

Взяв модуль от обеих частей этого уравнения, имеем

При экспоненциальный множитель стремится к 0 или к (в зависимости от знака разности ). Поэтому для достаточно длинных систем равенство (65,5) возможно только, если

Таким образом, в этом случае дисперсионное уравнение сводится к виду, зависящему только от свойств среды самой по себе и не зависящему от конкретного характера условий на ее границах. Уравнение (65,6) определяет некоторую кривую на плоскости со; на этой кривой лежат очень близкие друг к другу (при больших L) дискретные собственные частоты. Если эта кривая хотя бы частично лежит в верхней полуплоскости — система неустойчива. В связи с тем, что эта неустойчивость обуславливается свойствами системы в целом, ее называют глобальной.

Сделаем еще несколько замечаний о связи глобальной неустойчивости конечной системы с неустойчивостью бесконечной среды. Прежде всего, легко видеть, что при наличии глобальной неустойчивости бесконечная система заведомо неустойчива: существуют такие вещественные значения k, для которых Действительно, по определению функций их значения при лежат в различных полуплоскостях k. Условие же (65,6) означает, что по мере уменьшения точки могут попасть в одну и ту же полуплоскость, причем (в случае глобальной неустойчивости) это происходит еще при Следовательно, еще раньше (т. е. заведомо при ) по крайней мере одна из этих точек пересечет вещественную ось, что и требовалось.

Обратное утверждение справедливо, однако, лишь для абсолютной (но не конвективной) неустойчивости бесконечной среды: наличие абсолютной неустойчивости достаточно для существования также и глобальной неустойчивости конечной системы. Действительно, условие абсолютной неустойчивости состоит в существовании точки ветвления функции при причем сливающиеся ветви относятся к категориям и в такой точке заведомо выполняется также и условие (65,6).

Конвективно же неустойчивая среда при наличии границ может оказаться как неустойчивой, так и устойчивой.