§ 16. Динамический вывод кинетического уравнения

Хотя изложенный в § 3 вывод кинетического уравнения удовлетворителен с физической точки зрения, представляет значительный интерес проследить за тем, каким образом это уравнение можно аналитически получить из математического аппарата теории, т. е. из уравнений движения частиц газа; такой вывод дан Н. Н. Боголюбовым (1946). Значение этого метода состоит также и в том, что он дает регулярную процедуру, позволяющую в принципе получить не только уравнение Больцмана, но и поправки к нему, т. е. члены следующих порядков по малому «параметру газовости» — отношению где -молекулярные размеры (радиус действия молекулярных сил), а — среднее расстояние между молекулами. Излагаемый ниже вывод относится к одноатомному газу в чисто классических рамках, т. е. в предположении, что не только свободное движение, но и процессы столкновения частиц газа описываются классической механикой.

Исходным пунктом метода является теорема Лиувилля для функции распределения газа в целом как системы частиц. Обозначим такую функцию (в -мерном фазовом пространстве) посредством где символы обозначают совокупности координат и компонент импульса частицы: эта функция будет предполагаться нормированной на единицу:

Фигурирующая в уравнении Больцмана «одночастичная» функция распределения получается интегрированием функции по всем кроме одного:

функция тоже нормирована на 1; обозначение же (без индекса) сохраним для функции распределения, нормированной на полное число частиц:

Напомним (см. V, § 3), что теорема Лиувилля возникает как следствие уравнения непрерывности в фазовом пространстве, которому должна удовлетворять функция распределения замкнутой системы:

С помощью уравнений Гамильтона

отсюда получается равенство

причем предполагаются выраженными через согласно уравнениям (16,3); равенство (16,4) и составляет содержание теоремы Лиувилля.

Функцию Гамильтона одноатомного газа представим в виде

Здесь предполагается, что внешнее поле отсутствует, а взаимодействие частиц газа друг с другом сводится к сумме их попарных взаимодействий. С такой функцией Гамильтона уравнение (16,4) принимает вид

где () обозначает .

Проинтегрируем теперь это уравнение по . В результате такого интегрирования из всех членов под знаком суммы в (16,6) останутся лишь те, которые содержат дифференцирования по или интегралы от остальных членов преобразуются в интегралы по бесконечно удаленным поверхностям в импульсном или координатном пространстве и обращаются в нуль. Таким образом, получим

где — нормированная на 1 двухчастичная функция распределения, т. е. интеграл

(множитель в (16,7) учитывает члены, отличающиеся лишь обозначением переменных интегрирования; строго говоря, число таких членов есть —1, но, ввиду очень большой величины

Аналогичным образом, проинтегрировав (16,6) по , получим уравнение

где - трехчастичная функция распределения.

Продолжая таким образом, мы получили бы практически неограниченную ( очень велико!) цепочку последовательных уравнений, каждое из которых выражает через Все эти уравнения точные в том смысле, что никаких предположений, связанных с разреженностью газа, в них еще не делалось. Но для получения замкнутой системы уравнений эту цепочку надо где-то оборвать, воспользовавшись условием разреженности газа. В частности, первому приближению метода отвечает обрыв цепочки уже на первом уравнении (уравнение (16,7)), в котором двухчастичная функция будет приближенно выражена через . Последнее осуществляется с учетом разреженности газа с помощью уравнения (16,9).

Обращаясь к этому уравнению, покажем прежде всего, что интеграл в его правой стороне мал. Действительно, функция заметно отлична от нуля лишь в радиусе действия сил, т. е. при Поэтому и в обеих частях интеграла в (16,9) интегрирования по координатам происходят фактически лишь по областям - или т. е. по объему Заметив также, что при интегрировании по всему объему газа было бы находим следующую оценку:

Отсюда видно, что правая сторона уравнения (16,9) мала в отношении по сравнению с содержащими членами в левой стороне уравнения и поэтому ею можно пренебречь. Совокупность же членов в левой стороне уравнения представляет собой полную производную , в которой рассматриваются как функции времени, удовлетворяющие уравнениям движения (16,3) с функцией Гамильтона задачи двух тел:

Таким образом, имеем

(16,10)

До сих пор все преобразования уравнений носили чисто механический характер. Разумеется, для вывода кинетического уравнения необходимо сделать также и некоторое предположение статистического характера. Оно может быть сформулировано как утверждение о статистической независимости каждой пары частиц, вступающих в столкновение (по существу именно это предположение подразумевалось при выводе кинетического уравнения в § 3, когда вероятность столкновения записывалась в виде (2,1), пропорциональном произведению . В излагаемом методе это утверждение играет роль начального условия к дифференциальному уравнению (16,10). Именно оно вносит асимметрию по отношению к обоим направлениям времени, в результате чего из инвариантных к обращению времени уравнений механики получается необратимое кинетическое уравнение. Корреляция между положениями и импульсами частиц газа возникает лишь в течение времени их столкновения и простирается на расстояния . Таким образом, предположение о статистической независимости сталкивающихся частиц является также и источником принципиальных ограничений в допускаемых кинетическим уравнением расстояниях и промежутках времени, о которых говорилось уже в § 3.

Пусть — некоторый момент времени, предшествующий столкновению, когда две частицы находятся еще далеко друг от друга , где индекс нуль отличает значения величин в этот момент). Статистическая независимость сталкивающихся частиц означает, что в такой момент двухчастичная функция распределения распадается на произведение двух одночастичных функций Поэтому интегрирование уравнения (16,10) от до t дает

Здесь надо понимать как те значения координат и импульсов, которые должны иметь частицы в момент для того, чтобы к моменту t приобрести требуемые значения в этом смысле являются функциями от и (причем от зависят лишь значения же относясь к свободно движущимся перед столкновением частицам, от выбора не зависят).

Возвратимся к уравнению (16,7) — будущему кинетическому уравнению. Его левая сторона уже имеет требуемый вид; нас будет интересовать теперь интеграл в его правой части, который должен превратиться в конце концов в интеграл столкновений уравнения Больцмана.

Подставив в этот интеграл из (16,11) и перейдя в обеих сторонах уравнения от функции к функции пишем

где

(16,12)

В интеграле (16,12) существенна только область область, в которой происходит столкновение. Но в этой области можно пренебречь (в рассматриваемом первом приближении!) координатной зависимостью функции эта функция заметно меняется лишь на расстояниях L (характерные размеры задачи), во всяком случае больших по сравнению с d. Мы не изменим поэтому окончательного вида интеграла столкновений, если будем рассматривать (с целью некоторого упрощения рассуждений и записи формул) пространственно-однородный случай, т. е. предположив, что функция f вообще не зависит от координат. Сразу же отметим, что в функциях пропадает тогда и явная (через посредство ) зависимость от времени.

Преобразуем подынтегральное выражение в (16,12), воспользовавшись тем, что выражение в фигурных скобках является интегралом движения (именно как таковое оно появилось в (16,11); независимо от этого очевидно, что и - значения импульсов в фиксированный момент времени — уже по определению являются интегралами движения). Учтя также и отмеченное выше отсутствие в них явной зависимости от времени t, имеем

(16,13)

Выразим отсюда производную по через производные по , и подставим в (16,12). Член с производной исчезает после преобразования в интеграл по поверхности в импульсном пространстве. После этого получим

(16,14)

где введена относительная скорость частиц и учтено, что (а с ними и все выражение в фигурных скобках) зависят от лишь через разность

Введя вместо цилиндрические координаты с осью вдоль заметив, что и проинтегрировав по перепишем (16,14) в виде

(16,15)

Вспомним теперь, что — начальные (в момент ) импульсы частиц, которые в конечный момент t имеют импульсы Если в конечный момент то ясно, что в начальный момент частицы находились «еще дальше» друг от друга, т. е. столкновения вообще не было; другими словами, в этом случае начальные и конечные импульсы совпадают:

Если же то играют роль начальных импульсов для столкновения, в результате которого частицы приобретают импульсы и обозначим в этом случае

Эти значения являются функциями координаты , играющей роль прицельного параметра столкновения. Произведение же

есть классическое сечение столкновений.

Наконец, остается заметить, что явную зависимость функций от можно заменить в рассматриваемом приближении такой же зависимостью от t. Действительно, справедливость утверждения (16,11) требует соблюдения лишь неравенства в момент расстояние между частицами должно быть велико по сравнению с радиусом действия сил d. Но разность может быть выбрана так, чтобы удовлетворять также и условию где l — длина пробега; отношение же — время свободного пробега есть как раз та характерная величина, которая определяет периоды возможного изменения функции распределения со временем. Изменение функции распределения за время будет тогда относительно малым, так что им можно пренебречь.

После всего сказанного получаем окончательное выражение для интеграла (16,15):

совпадающее с больцмановским интегралом столкновений (3,9).