§ 51. Флуктуации в плазме

Теория флуктуаций в плазме строится в принципе так же, как и в обычном газе (§§ 19, 20). Разновременные корреляторы, например

(ф — потенциал электрического поля; индексы а, b отличают сорта частиц), удовлетворяют при той же системе уравнений линеаризованных кинетического уравнения и уравнения Пуассона, что и функции распределения и потенциал . Для решения этой системы необходимо знать, в качестве начального условия, соответствующие одновременные корреляторы. Но в отличие от равновесного газа нейтральных частиц, в плазме имеется одновременная корреляция между положениями различных частиц, связанная с их кулоновским взаимодействием и простирающаяся на большое расстояние. В равновесном случае эта корреляция описывается корреляторами плотности, вычисленными в V, § 79. В неравновесных же случаях определение одновременных корреляторов является трудной задачей.

Эту трудность, однако, можно преодолеть в общем виде в случае бесстолкновительной плазмы. Заметим, что именно для бесстолкновительной плазмы задача о флуктуациях в стационарном неравновесном состоянии ставится в особенности естественным образом, поскольку в такой плазме в отсутствие внешнего поля любые функции распределения , зависящие только от импульсов частиц, являются стационарным решением кинетического уравнения. Коррелятор флуктуаций относительно такого распределения, как и в равновесном случае, будет зависеть от координат двух точек и от двух моментов времени только через разности Бесстолкновительность плазмы означает при этом, что рассматриваются времена t, малые по сравнению с , где -эффективная частота столкновений. Излагаемый ниже метод применим именно в этих условиях; бесстолкновительность используется в нем с самого начала. Он основан на непосредственном усреднении произведений точных флуктуирующих функций распределения .

Эти функции удовлетворяют уравнениям

где ф — точный потенциал электрического поля, удовлетворяющий уравнению

(51,2)

Уравнения (51,1) выражают собой аналог теоремы Лиувилля. Подчеркнем, что в этих точных уравнениях еще не пренебрежено столкновениями. Точные функции распределения

(суммирование по всем частицам сорта а) учитывают движение частиц по траекториям являющимся точными решениями уравнений движения системы взаимодействующих частиц. Уравнения (51,1) легко проверить прямым дифференцированием выражений (51,3) с учетом уравнений движения частиц в самосогласованном поле.

Уравнения (51,1-2) сами по себе довольно бесполезны; пользоваться функциями распределения в виде (51,3) все равно, что следить за каждой частицей в отдельности. Если же усреднить их по физически бесконечно малым объемам, получатся обычные кинетические уравнения. Положив и усреднив уравнения (не производя при этом никаких пренебрежений!), получим

Правая сторона в (51,4) есть интеграл столкновений.

Вычтя (51,4-5) из точных уравнений (51,1-2), получим уравнения для флуктуирующих частей функций распределения и потенциала. При этом квадратичные по члены в кинетическом уравнении описывают влияние столкновений на флуктуации. Пренебрегая этими членами и рассматривая пространственно-однородный случай, т. е. положив

получим уравнения

Эти уравнения позволяют выразить функции в произвольный момент времени t через их значения в некоторый начальный момент тем самым оказывается возможным выразить и коррелятор

через его значение при Это начальное значение коррелятора (обозначим его через ) есть в значительной степени (см. ниже) произвольная функция. Сразу же подчеркнем, что оно отнюдь не является тем одновременным коррелятором, нахождение которого (вместе с полным разновременным коррелятором) составляет нашу цель. Центральный пункт, обеспечивающий эффективность излагаемого метода, состоит в том, что при произвольном выборе функции g вычисленный таким образом коррелятор (51,9) с течением времени порядка времени затухания Ландау) сведется к функции только от разности не зависящей от выбора g. Тем самым задача будет решена: эта предельная функция и будет искомым разновременным коррелятором, а его значение при одновременным коррелятором.

Переходя к проведению указанной программы, введем компоненты разложения Фурье по координатам и одностороннего разложения Фурье по времени:

и аналогично для Умножив уравнения (51,7-8) и интегрируя по от 0 до и по получим

(51.11)

С подобными уравнениями мы уже неоднократно встречались (ср. (34,10-11)); из них находим

где — диэлектрическая проницаемость плазмы с распределением

Перемножение таких двух выражений и статистическое усреднение дают

Среднее значение в числителе подынтегрального выражения связано с фурье-компонентой «начального» коррелятора формулой

(ср. (19,13)). Как и всякая одновременная корреляционная функция, начальный коррелятор должен содержать -функционный член, выражающий те случаи, когда всего одна частица находится в совпадающих элементах фазового пространства:

(см. (19,6)). Фурье-образ этого члена есть Таким образом, в (51,13) надо положить

(51,14)

где есть произвольная гладкая (без особенностей при вещественных ) функция фурье-образ некоторой функции стремящейся к нулю при

При подстановке в (51,13) член с этой произвольной функцией в (51,14) дает

Покажем, что это выражение отвечает во временном представлении функции, быстро затухающей с увеличением t или

Переход от лапласовского (см. примечание на стр. 173) образа к функции времени осуществляется формулой обращения

(51,16)

где интегрирование производится по путям в плоскостях комплексных переменных , проходящим выше всех особых точек подынтегрального выражения.

Нас интересует асимптотика выражения (51,16) при Для ее нахождения надо смещать контуры интегрирования вниз до тех пор, пока они не «зацепятся» за особые точки; так, особенность в точке приведет к асимптотической зависимости интеграла по от времени вида Легко видеть, что выражение (51,15) имеет особенности лишь в нижних полуплоскостях или (но не на вещественных осях этих переменных) и потому асимптотика интеграла (51,16) с (51,15) в качестве содержит только затухающие члены.

Рассмотрим, например, интеграл по . Множитель в (51,15) имеет полюсы в нулях функции расположенных лишь в нижней полуплоскости Таким же свойством обладает и интеграл по в (51,15). Действительно, этот интеграл имеет вид

где - проекция вектора на направление к, причем (согласно предположенным свойствам функции ) множитель мог бы иметь особые точки лишь при комплексных значениях . Интеграл такого вида был уже рассмотрен в конце § 29 и было показано, что он может иметь полюсы лишь в нижней полуплоскости .

Таким образом, интересующая нас незатухающая часть коррелятора возникает только от вклада от первого члена в (51,14) в интеграл (51,13):

Преобразуем подынтегральное выражение, написав

При дальнейшем интегрировании по в (51,16) незатухающий при вклад возникает от вычета в полюсе который обходится контуром интегрирования, как это показано на рис. 14; в этом смысле множитель надо понимать

Смысл же множителей при последующем интегрировании по определяется формулой (29,8). согласно которой

(это обозначение подразумевает, что интегрирования по и производятся уже по вещественной оси).

Таким образом, для вычисления коррелятора в асимптотическом пределе больших времен t, в интеграле (51,17) надо заменить

В результате получим

где

Из определения (51,19) видно (ср. (19,13)), что величины представляют собой искомый фурье-образ корреляционный функции, спектральный коррелятор. Таким образом, формула (51,20) решает поставленную задачу для флуктуаций потенциала.

Рис. 14.

Аналогичным образом определяются и другие корреляторы. Так, выразив из (51,11) через умножив на из (51,12) и усреднив, получим коррелятор потенциала и функции распределения:

Напомним, что порядок, в котором написаны в символе , существен: по определению (ср. V, (122,11)), (51,21) есть фурье-образ пространственно-временного коррелятора

Если же определить коррелятор как , то будет

Наконец, спектральный коррелятор функций распределения

(51,23)

Это — фурье-образ коррелятора

Если в формулах (51,20-23) выбрать в качестве максвелловские функции , полуним корреляторы флуктуаций в равновесной бесстолкновительной плазме.

Рассмотрим, например, флуктуации потенциала. Для максвелловской плазмы мнимую часть продольной диэлектрической проницаемости можно представить в виде

(51,24)

(см. (30,1); обобщение на несколько сортов частиц очевидно). Введя это выражение в (51,20), получим

Коррелятор же напряженности продольного электрического поля

(51,26)

Этот результат можно было бы, конечно, получить и из общей макроскопической теории равновесных электромагнитных флуктуации, изложенной в IX, §§ 75-77.

Согласно этой теории, спектральный коррелятор напряженности электрического поля выражается через запаздывающую гриновскую функцию формулой, которая в классическом пределе принимает вид

(51,27)

(см. IX, (76,3), (77,2)). В среде с пространственной дисперсией гриновская функция

Подстановка продольной части этой функции (второй член) в (51,27) и даст (51,25-26).

Наконец, вернемся к уравнению (51,4) и покажем, что стоящее в его правой части выражение

действительно совпадает с известным выражением интеграла столкновений в плазме. Величина (51,29) получается из корреляционной функции дифференцированием по , после чего надо положить в ней Таким образом, найдем

(51,30)

(в последнем равенстве учтено (51,22)). Но из (51,21) имеем (используя также (51,20) и (51,24))

Подставив это выражение в (51,30), легко приводим (51,29) к виду интеграла столкновений Балеску—Ленарда (§ 47).

В связи с приведенным выводом может показаться странным, что для вычисления интеграла столкновений оказалось достаточным рассматривать флуктуации в бесстолкновительной плазме. Это, однако, связано с тем, что при столкновениях в плазме существенны компоненты Фурье электрического поля , что и позволяет пренебречь столкновениями. Ситуация здесь вполне аналогична той, которая имела место при выводе кинетического уравнения Больцмана в § 16. Действительно, уравнение (16,10) как раз и означает пренебрежение влиянием столкновений на парную корреляционную функцию.