Главная > Теоретическая физика. Т. X. Физическая кинетика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 51. Флуктуации в плазме

Теория флуктуаций в плазме строится в принципе так же, как и в обычном газе (§§ 19, 20). Разновременные корреляторы, например

(ф — потенциал электрического поля; индексы а, b отличают сорта частиц), удовлетворяют при той же системе уравнений линеаризованных кинетического уравнения и уравнения Пуассона, что и функции распределения и потенциал . Для решения этой системы необходимо знать, в качестве начального условия, соответствующие одновременные корреляторы. Но в отличие от равновесного газа нейтральных частиц, в плазме имеется одновременная корреляция между положениями различных частиц, связанная с их кулоновским взаимодействием и простирающаяся на большое расстояние. В равновесном случае эта корреляция описывается корреляторами плотности, вычисленными в V, § 79. В неравновесных же случаях определение одновременных корреляторов является трудной задачей.

Эту трудность, однако, можно преодолеть в общем виде в случае бесстолкновительной плазмы. Заметим, что именно для бесстолкновительной плазмы задача о флуктуациях в стационарном неравновесном состоянии ставится в особенности естественным образом, поскольку в такой плазме в отсутствие внешнего поля любые функции распределения , зависящие только от импульсов частиц, являются стационарным решением кинетического уравнения. Коррелятор флуктуаций относительно такого распределения, как и в равновесном случае, будет зависеть от координат двух точек и от двух моментов времени только через разности Бесстолкновительность плазмы означает при этом, что рассматриваются времена t, малые по сравнению с , где -эффективная частота столкновений. Излагаемый ниже метод применим именно в этих условиях; бесстолкновительность используется в нем с самого начала. Он основан на непосредственном усреднении произведений точных флуктуирующих функций распределения .

Эти функции удовлетворяют уравнениям

где ф — точный потенциал электрического поля, удовлетворяющий уравнению

(51,2)

Уравнения (51,1) выражают собой аналог теоремы Лиувилля. Подчеркнем, что в этих точных уравнениях еще не пренебрежено столкновениями. Точные функции распределения

(суммирование по всем частицам сорта а) учитывают движение частиц по траекториям являющимся точными решениями уравнений движения системы взаимодействующих частиц. Уравнения (51,1) легко проверить прямым дифференцированием выражений (51,3) с учетом уравнений движения частиц в самосогласованном поле.

Уравнения (51,1-2) сами по себе довольно бесполезны; пользоваться функциями распределения в виде (51,3) все равно, что следить за каждой частицей в отдельности. Если же усреднить их по физически бесконечно малым объемам, получатся обычные кинетические уравнения. Положив и усреднив уравнения (не производя при этом никаких пренебрежений!), получим

Правая сторона в (51,4) есть интеграл столкновений.

Вычтя (51,4-5) из точных уравнений (51,1-2), получим уравнения для флуктуирующих частей функций распределения и потенциала. При этом квадратичные по члены в кинетическом уравнении описывают влияние столкновений на флуктуации. Пренебрегая этими членами и рассматривая пространственно-однородный случай, т. е. положив

получим уравнения

Эти уравнения позволяют выразить функции в произвольный момент времени t через их значения в некоторый начальный момент тем самым оказывается возможным выразить и коррелятор

через его значение при Это начальное значение коррелятора (обозначим его через ) есть в значительной степени (см. ниже) произвольная функция. Сразу же подчеркнем, что оно отнюдь не является тем одновременным коррелятором, нахождение которого (вместе с полным разновременным коррелятором) составляет нашу цель. Центральный пункт, обеспечивающий эффективность излагаемого метода, состоит в том, что при произвольном выборе функции g вычисленный таким образом коррелятор (51,9) с течением времени порядка времени затухания Ландау) сведется к функции только от разности не зависящей от выбора g. Тем самым задача будет решена: эта предельная функция и будет искомым разновременным коррелятором, а его значение при одновременным коррелятором.

Переходя к проведению указанной программы, введем компоненты разложения Фурье по координатам и одностороннего разложения Фурье по времени:

и аналогично для Умножив уравнения (51,7-8) и интегрируя по от 0 до и по получим

(51.11)

С подобными уравнениями мы уже неоднократно встречались (ср. (34,10-11)); из них находим

где диэлектрическая проницаемость плазмы с распределением

Перемножение таких двух выражений и статистическое усреднение дают

Среднее значение в числителе подынтегрального выражения связано с фурье-компонентой «начального» коррелятора формулой

(ср. (19,13)). Как и всякая одновременная корреляционная функция, начальный коррелятор должен содержать -функционный член, выражающий те случаи, когда всего одна частица находится в совпадающих элементах фазового пространства:

(см. (19,6)). Фурье-образ этого члена есть Таким образом, в (51,13) надо положить

(51,14)

где есть произвольная гладкая (без особенностей при вещественных ) функция фурье-образ некоторой функции стремящейся к нулю при

При подстановке в (51,13) член с этой произвольной функцией в (51,14) дает

Покажем, что это выражение отвечает во временном представлении функции, быстро затухающей с увеличением t или

Переход от лапласовского (см. примечание на стр. 173) образа к функции времени осуществляется формулой обращения

(51,16)

где интегрирование производится по путям в плоскостях комплексных переменных , проходящим выше всех особых точек подынтегрального выражения.

Нас интересует асимптотика выражения (51,16) при Для ее нахождения надо смещать контуры интегрирования вниз до тех пор, пока они не «зацепятся» за особые точки; так, особенность в точке приведет к асимптотической зависимости интеграла по от времени вида Легко видеть, что выражение (51,15) имеет особенности лишь в нижних полуплоскостях или (но не на вещественных осях этих переменных) и потому асимптотика интеграла (51,16) с (51,15) в качестве содержит только затухающие члены.

Рассмотрим, например, интеграл по . Множитель в (51,15) имеет полюсы в нулях функции расположенных лишь в нижней полуплоскости Таким же свойством обладает и интеграл по в (51,15). Действительно, этот интеграл имеет вид

где - проекция вектора на направление к, причем (согласно предположенным свойствам функции ) множитель мог бы иметь особые точки лишь при комплексных значениях . Интеграл такого вида был уже рассмотрен в конце § 29 и было показано, что он может иметь полюсы лишь в нижней полуплоскости .

Таким образом, интересующая нас незатухающая часть коррелятора возникает только от вклада от первого члена в (51,14) в интеграл (51,13):

Преобразуем подынтегральное выражение, написав

При дальнейшем интегрировании по в (51,16) незатухающий при вклад возникает от вычета в полюсе который обходится контуром интегрирования, как это показано на рис. 14; в этом смысле множитель надо понимать

Смысл же множителей при последующем интегрировании по определяется формулой (29,8). согласно которой

(это обозначение подразумевает, что интегрирования по и производятся уже по вещественной оси).

Таким образом, для вычисления коррелятора в асимптотическом пределе больших времен t, в интеграле (51,17) надо заменить

В результате получим

где

Из определения (51,19) видно (ср. (19,13)), что величины представляют собой искомый фурье-образ корреляционный функции, спектральный коррелятор. Таким образом, формула (51,20) решает поставленную задачу для флуктуаций потенциала.

Рис. 14.

Аналогичным образом определяются и другие корреляторы. Так, выразив из (51,11) через умножив на из (51,12) и усреднив, получим коррелятор потенциала и функции распределения:

Напомним, что порядок, в котором написаны в символе , существен: по определению (ср. V, (122,11)), (51,21) есть фурье-образ пространственно-временного коррелятора

Если же определить коррелятор как , то будет

Наконец, спектральный коррелятор функций распределения

(51,23)

Это — фурье-образ коррелятора

Если в формулах (51,20-23) выбрать в качестве максвелловские функции , полуним корреляторы флуктуаций в равновесной бесстолкновительной плазме.

Рассмотрим, например, флуктуации потенциала. Для максвелловской плазмы мнимую часть продольной диэлектрической проницаемости можно представить в виде

(51,24)

(см. (30,1); обобщение на несколько сортов частиц очевидно). Введя это выражение в (51,20), получим

Коррелятор же напряженности продольного электрического поля

(51,26)

Этот результат можно было бы, конечно, получить и из общей макроскопической теории равновесных электромагнитных флуктуации, изложенной в IX, §§ 75-77.

Согласно этой теории, спектральный коррелятор напряженности электрического поля выражается через запаздывающую гриновскую функцию формулой, которая в классическом пределе принимает вид

(51,27)

(см. IX, (76,3), (77,2)). В среде с пространственной дисперсией гриновская функция

Подстановка продольной части этой функции (второй член) в (51,27) и даст (51,25-26).

Наконец, вернемся к уравнению (51,4) и покажем, что стоящее в его правой части выражение

действительно совпадает с известным выражением интеграла столкновений в плазме. Величина (51,29) получается из корреляционной функции дифференцированием по , после чего надо положить в ней Таким образом, найдем

(51,30)

(в последнем равенстве учтено (51,22)). Но из (51,21) имеем (используя также (51,20) и (51,24))

Подставив это выражение в (51,30), легко приводим (51,29) к виду интеграла столкновений Балеску—Ленарда (§ 47).

В связи с приведенным выводом может показаться странным, что для вычисления интеграла столкновений оказалось достаточным рассматривать флуктуации в бесстолкновительной плазме. Это, однако, связано с тем, что при столкновениях в плазме существенны компоненты Фурье электрического поля , что и позволяет пренебречь столкновениями. Ситуация здесь вполне аналогична той, которая имела место при выводе кинетического уравнения Больцмана в § 16. Действительно, уравнение (16,10) как раз и означает пренебрежение влиянием столкновений на парную корреляционную функцию.

1
Оглавление
email@scask.ru