§ 12. Диффузия тяжелого газа в легком

Рассмотрим теперь обратный предельный случай, когда мала концентрация тяжелого газа в смеси. В этом случае коэффициент диффузии можно вычислить косвенным способом, не прибегая к помощи кинетического уравнения. Именно, определим так называемую подвижность частиц тяжелого газа, предполагая его находящимся во внешнем поле.

Подвижность же b связана с коэффициентом диффузии этих же частиц известным соотношением Эйнштейна

(см. VI, § 59).

Подвижность есть, по определению, коэффициент пропорциональности между средней скоростью V, приобретаемой частицей газа во внешнем поле, и действующей на частицу со стороны поля силой

Скорость же V определяется в данном случае из условия взаимной компенсации силы f и силы сопротивления испытываемой движущейся тяжелой частицей со стороны легких (столкновениями тяжелых частиц друг с другом можно пренебречь ввиду их относительной редкости). Функция распределения легких частиц является при этом максвелловской:

где - масса легкой частицы.

Рассмотрим какую-нибудь одну определенную тяжелую частицу; пусть ее скорость есть V. Перейдем теперь к системе координат, движущейся вместе с этой частицей, и пусть v обозначает скорости легких частиц в этой новой системе. Функция распределения легких частиц в этой системе координат есть (ср. с (6,9)). Предполагая скорость V малой, можем написать

Искомую силу сопротивления можно вычислить как полный импульс, передаваемый тяжелой частице легкими, которые сталкиваются с нею в единицу времени. Тяжелая частица остается при столкновении неподвижной. Легкая же частица приносит с собой импульс после столкновения, при котором ее импульс поворачивается на угол а, она уносит с собой импульс, равный в среднем . Поэтому импульс, передаваемый при таком столкновении тяжелой частице, равен в среднем . Умножая его на плотность потока легких частиц со скоростью v и на сечение такого столкновения и интегрируя, получим полный передаваемый тяжелой частице импульс:

где опять введено обозначение (11,4).

При подстановке сюда в виде (12,3) первый член обращается в нуль (интегрированием по направлениям скорости v), так что остается

или, усредняя по направлениям

где угловые скобки снова обозначают усреднение по обычному максвелловскому распределению. Наконец, имея в виду, что в рассматриваемом случае пишем так что

Приравняв нулю сумму силы сопротивления и внешней силы f, получим согласно (12,2) подвижность b, а затем и искомый коэффициент диффузии

Что касается термодиффузии, то для ее вычисления в рассматриваемом случае необходимо было бы знать функцию распределения частиц легкого газа при наличии в нем градиента температуры. Поэтому коэффициент термодиффузии не может быть вычислен здесь в общем виде.

По порядку величины где — снова (как и в (11,13)) средняя тепловая скорость молекул легкого газа. Таким образом, порядок величины коэффициента диффузии в обоих случаях одинаков:

Задача

Определить коэффициент диффузии в смеси двух газов (легкого и тяжелого), рассматривая их частицы как твердые упругие шарики диаметров и

Решение. Сечение столкновений откуда транспортное сечение (в данном случае совпадает с полным сечением а). Коэффициент диффузии имеет вид

где — масса легкой частицы, а А — численный коэффициент. В случае малой концентрации легкого газа вычисление по (11,10) дает

При малой же концентрации тяжелого газа (12,4) дает

Обратим внимание на близость значений А в обоих предельных случаях,