§ 44. Лоренцева плазма

При вычислении электронного вклада в кинетические коэффициенты плазмы надо, вообще говоря, учитывать как так и ее столкновения. Если, однако, заряд ионов достаточно велик, роль -столкновений может оказаться преобладающей. Действительно, сечение ее - столкновений пропорционально , а частота таких столкновений -еще и плотности электронов аналогичным образом, частота -столкновений пропорциональна так что при будет и Плазму, в которой можно пренебречь - по сравнению с -столкновениями, называют лоренцевой. Хотя этот случай и не очень реалистичен, он интересен как в методическом отношении, так и по возможным применениям к другим объектам.

Ввиду малости скоростей ионов по сравнению со скоростями электронов, в первом приближении можно ими пренебречь, т. е. считать ионы неподвижными, а их распределение заданным. В задаче о поведении плазмы во внешнем электрическом поле имеется выделенное направление — направление поля Е.

Если электронная функция распределения мало отличается от равно весной, то малая поправка линейна по полю, т. е. имеет вид . В этих условиях электрон-ионный интеграл столкновений принимает тот вид, который был придан в § 11 интегралу столкновений в задаче о диффузии примеси легкого газа в тяжелом:

где введена зависящая от скорости эффективная частота столкновений

а - транспортное сечение рассеяния электронов на ионах. Взяв последнее из (41,7) и заменив получим

Ниже в этом параграфе мы будем писать просто опуская индексы

Вычислим диэлектрическую проницаемость лоренцевой плазмы в пространственно-однородном (волновой вектор переменном электрическом поле. Добавка к равновесному распределению будет зависеть от времени по тому же закону, и кинетическое уравнение для нее имеет вид

Заметив также, что находим отсюда

Диэлектрическая проницаемость определяется соотношением (29,4): или

Подставив (44,5) и произведя усреднение по направлениям v (согласно ), получим

В предельном случае эта формула дает

где усреднение производится по максвелловскому распределению электронов.

Вычислив это среднее для из (44,3), получим

Напомним, однако, что область справедливости этой формулы ограничена также и сверху общим условием (41,14) применимости логарифмического приближения в интеграле столкновений: — частота должна быть мала по сравнению с плазменной частотой электронов.

Формула (44,9) имеет особое значение, так как она справедлива при любых (а не только больших) значениях . Действительно, при роль столкновений сводится к малым поправкам; и -столкновения можно, следовательно, учитывать независимо. Но в отсутствие ионов однородное электрическое поле приводило бы лишь к перемещению всей системы электронов как целого и столкновения в такой системе не могут вызвать диссипацию (выражающуюся мнимой частью проницаемости ); последняя обуславливается в этих условиях только -столкновениями, учтенными в (44,9).

В обратном предельном случае, когда , проницаемость имеет вид

Величина , фигурирующая в этом предельном выражении, есть статическая проводимость плазмы (см. VIII, § 58). Вычисление с из (44,3) дает для нее

(44,11)

Этот результат можно было бы получить, конечно, и путем прямого вычисления плотности электрического тока

Вычислим также и другие кинетические коэффициенты лоренцевой плазмы, связанные с ее поведением под влиянием постоянного электрического поля и градиента температуры. Предварительно напомним определение этих коэффициентов (см. VIII, § 25).

Условия теплового равновесия требуют, как известно, наряду постоянством температуры также и постоянства вдоль среды суммы где — химический потенциал частиц, энергия во внешнем поле.

В данном случае речь идет о равновесии по отношению к электронам, так что под надо понимать их химический потенциал, a где — потенциал электрического поля. Соответственно этому электрический ток j и диссипативный поток энергии q обращаются одновременно в нуль лишь при условиях т. е. при Выражения для j и q записываются в виде следующих соотношений, удовлетворяющих указанному условию:

(44,12)

Здесь а — электрическая проводимость среды, k — коэффициент теплопроводности, а — термоэлектрический коэффициент; соотношение между коэффициентами при в (44,12) и j в (44,13) — следствие принципа Онсагера. Величина вычтенная из полного потока энергии, представляет собой плотность конвективного потока энергии.

Для вычисления кинетических коэффициентов исходим из кинетического уравнения

(44,14)

Подставив в него равновесное распределение в виде

(44,15)

получим

Термоэлектрический коэффициент вычисляется по коэффициенту в равенстве при Пишем

и после усреднения по направлениям v находим

Вычисление с из (44,3) дает

Для вычисления коэффициента теплопроводности замечаем, что при должно быть Подставив это значение (вместе с из (44,18)) в (44,16), имеем

Вычисляя с этой функцией поток энергии

получим

и, наконец,

Задача

Найти столкновительную часть затухания электронных плазменных волн. Решение. Если мнимая часть диэлектрической проницаемости мала, то вклады в нее за счет затухания Ландау и за счет столкновений складываются. С учетом последнего дается формулой (44,9); приравняв нулю, найдем , где коэффициент затухания

Отношение

в силу условия разреженности плазмы; этим оправдывается применение (44,9).