139. Теорема Виета.

Т.5.3. Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна , а произведение равно , т. е.

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Выведем еще некоторые соотношения между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения

Найдем сумму квадратов корней:

Воспользовавшись формулами (1), получим:

Рассмотрим сумму кубов корней. Имеем:

Воспользовавшись формулами (1) и (2), получим:

Справедлива теорема, обратная теореме Виета.

Т.5.4. Если числа таковы, что , то — корни квадратного уравнения

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней. Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Попробуем найти два числа и 2, такие, что

Такими числами являются 2 и 7. По теореме 5.4. они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение Решение. Попробуем найти такие два числа и 2, чтобы выполнялись равенства

Нетрудно заметить, что такими числами будут — 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.