§ 101. Вычисление крутящих моментов. Ничтожность влияния выступов сечения или ребер призм

Для точного вычисления интегралов, содержащихся в этом выражении нужно было бы подставить вместо z значение z как функции у, полученное из уравнения (225) кривой контура сечения. Это невозможно сделать, когда уравнение — восьмой степени, и даже из уравнения четвертой степени мы получили бы значение z, которое после подстановки сделало бы интегрирование возможным не иначе, как только с помощью очень сложного ряда. Мы произвели все эти интегрирования по формуле квадратур Симпсона, которая дает любое желаемое приближение.

Например, для кривой (§ 95), обозначая через ординаты z, соответствующие а также имея в виду известную формулу для площади

мы устанавливаем: 1

и аналогично для других интегралов.

Мы взяли для двух других кривых (§§ 95 и 98) большее число делений к концам ввиду сложности формы кривых в этих местах.

Вычисление было упрощенно проверено, когда мы произвели квадратуру по формуле прямолинейных трапеций, т. е. по формуле с меньшим приближением:

и достигли примерно тех же результатов.

Рис. 52

Итак, мы получим, вновь восстанавливая однородность (§ 93) и вспоминая, что первый член в квадратных скобках выражения представляет собой полярный момент инерции каждого сечения (рис. 52):

для кривой (квадрат с закругленными углами)

для кривой (квадрат с острыми углами)

для кривой

(звезда с четырьмя закругленными концами)

Отсюда видно, что из величины соответствующей прежней теории, нужно отнять 0,1814 этой величины, чтобы получить когда сечение представляет собой квадрат с закругленными углами и слегка вогнутыми сторонами. Мы видели, что для прямолинейного квадрата нужно (§ 77) взять или отнять из только 0,15654 этой величины. Легкая вогнутость сторон оказывает большее влияние на уменьшение крутящего момента (при одинаковом моменте инерции), чем закругление четырех углов на его увеличение.

Для криволинейного квадрата с несколько вогнутыми сторонами и острыми углами нужно отнять 0,2217 величины Достаточно, как мы видим, легкой вогнутости сторон основания (приблизительно чтобы довольно значительно уменьшить крутящий момент у квадратной призмы (§ 78).

Наконец, для призмы с выступающими ребрами нужно из отнять весьма большую часть этой величины 0,4626, т. е. взять только вместо которое берут для кругового сечения, или вместо для прямолинейного квадратного сечения.

Так как для кругового сечения то призмы, имеющие основания в виде закругленного квадрата, острого квадрата и звезды, обладают соответственно только и 0,674 упругого сопротивления кручению, которое они имели бы при одинаковой плсщади сечения или при одинаковом количестве материала, если бы они были с круговым основанием, хотя моменты инерции их сечений были бы в 1,059; 1,063; 1,255 раза больше, чем моменты инерции круговых сечений с равной площадью.

Таким образом, четыре выступа, несмотря на их малую толщину, оказывают значительное влияние на величину

момента инерции, но весьма мало влияют на крутящий момент. Детали с ребрами, с такой пользой применяемые для уменьшения влияния изгиба, должны быть исключены из частей сооружений, которые подвергаются кручению, или, по крайней мере, не нужно принимать в расчет четырех ребер или выступов при определении сопротивления.