§ 2. Принятая в настоящее время теория изгиба, вызванного неравномерным продольным растяжением волокон. Гипотезы, на которых она обычно основывается. Ненужность этих гипотез ввиду их неточности для вывода формул

Эта теория в том виде, как она обычно преподается, приводит к результатам, достаточно хорошо подтверждаемым экспериментом в самых обычных случаях. Она исходит из двух гипотез: 1) сечения, плоские и перпендикулярные к

ребрам призмы до ее изгиба, остаются и после изгиба также плоскими и нормальными к этим ребрам и волокнам или продольным элементам, которые становятся криволинейными; 2) волокна, одни растянутые, другие укороченные, сопротивляются независимо, как будто бы они представляли собой малые изолированные призмы, не оказывающие друг на друга никакого действия.

Из первой гипотезы следует, что малые части волокон, заключенные между двумя весьма близкими сечениям» и совершенно равные до изгиба, имеют после изгиба длину, пропорциональную их радиусам или их расстояниям до линии, по которой пересекаются плоскости этих сечений. Таким образом, вводя обозначения:

- расстояние от этой линии до неизменяемых волокон, т. е. сохраняющих свою первоначальную длину, расстояние, обязательно одинаковое для всех указанных волокон,

- расстояние от этой линии до какого-либо волокна (здесь z может быть положительным или отрицательным),

- удлинение того же волокна или его относительное растяжение, положительное или отрицательное,

- напряжение — усилие на единицу поверхности малого поперечного сечения волокна,

- так называемый коэффициент или модуль упругости, — постоянное для данного материала призмы отношение напряжения к малому удлинению при отсутствии боковых воздействий на призму, получаем для отношения новой длины какого-либо волокна к его прежней длине, равной длине неизменяемых волокон:

что дает для удлинения этого волокна

откуда (в соответствии со второй гипотезой)

Эти две гипотезы, данные нами в общепринятой формулировке, являются ошибочными, за исключением редкого случая равномерного изгиба или изгиба по дуге окружности под действием сил, создающих моменты на каждом конце призмы. Действительно, если внешние силы, действующие на конец призмы и изгибающие ее, имеют поперечную равнодействующую которая обязательно производит неравномерный изгиб от одного конца до другого, то для равновесия какой-либо части призмы, отделенной от другой ее части сечением требуется, чтобы по этому сечению действовали внутренние силы, также поперечные, с такой же равнодействующей это может произойти, если только сечения перекашиваются и перестают быть повсюду нормальными к волокнам, которые, следовательно, несколько сдвигаются также относительно друг друга и создают при взаимодействии род трения или продольные натяжения, которые исключают абсолютную независимость волокон.

Но, несмотря на эти обстоятельства, формулы (1) могут быть справедливы: 1) если все сечения призмы изгибаются и одинаково наклоняются к волокнам, так как пересекаемые ими части волокон испытывают такие же удлинения, что и волокна, заключенные между плоскостями, остающимися нормальными; 2) если отношение напряжений к удлинениям волокон нисколько не зависит от их продольного взаимодействия, аналогичного трению, так как отсутствия боковых сжатий достаточно для того, чтобы это отношение равнялось бы как будто волокна полностью независимы и изолированы друг от друга.

Итак, основные формулы (1)

если их можно узаконить подобным образом, легко приводят

к решению различных частных случаев изгиба или, по крайней мере, всякого случая, который зависит от неравномерности продольных удлинений и не зависит от малых наклонов или сдвигов, величины которых должны быть найдены иначе. Действительно, если обозначим:

— элемент сечения со призмы или основание какого-либо из ее волокон, рассматриваемого как весьма тонкая призма,

- полный момент относительно линии неизменяемых волокон сечения со внешних сил, которые создают изгиб и действуют на часть призмы (с самого начала считается, что эти силы не имеют никаких составляющих в продольном направлении, т. е. в направлении волокон), то равновесие части призмы, нагруженной с одной стороны этими внешними силами, а с другой — растягивающими усилиями которые воздействуют на нее посредством волокон со стороны другой части А со призмы, требует, как это заметил Кулон, чтобы продольные силы в сумме равнялись нулю, как и составляющие внешних сил по их направлениям, или чтобы — в

Нужно также, чтобы сумма моментов тех же сил относительно линии неизменяемых волокон равнялась бы Отсюда получаем два равенства, которые вместе с равенствами (1) представляют итог первых шагов и усилий самых знаменитых ученых в течение двух веков:

Первое равенство показывает, что линия неизменяемых волокон, перпендикулярная к плоскости изгиба, проходит через центр тяжести сечения

Второе равенство служит для определения кривизны , следовательно (когда сдвигами, о которых мы только что говорили, можно пренебречь), различных форм изогнутой оси призмы, которые уже могли определить теоретически, еще не зная правильного знаменателя Якоб

Бернулли, Эйлер (Euler) и Лагранж (Lagrange) и которые были изучены Навье. Эти вопросы и в настоящее время являются предметом многочисленных и полезных исследований, выполненных с точки зрения различных способов приложения внешних сил, интенсивность и направление которых часто задавались только приближенно.

То же второе уравнение (2), написанное в виде

может быть доказано в последней форме без введения и при единственном допущении, что напряжение в волокнах изменяется как линейная функция Это предположение является обобщением уравнения Кулона, относящегося только к прямоугольной призме, и служит для определения момента в соответствии с экспериментально установленным пределом для значений при которых нет опасения даже за последующее разрушение. Но нужно отметить, что мы не получаем таким образом правильного условия сопротивления, так как сдвиги или наклоны волокон или сечений, о которых мы упоминали и которые не учитываются этими уравнениями, вызывают малые косые молекулярные смещения, которые, сочетаясь с продольными удлинениями 9, производят в различных направлениях несколько большие удлинения, и следует устанавливать предел для этих суммарных удлинений, а не для

Следует также обратить внимание, как указывал Персей (Persey), на то, что изгиб может происходить лишь в плоскости главного момента внешних сил, так как эта плоскость изгиба расположена параллельно одной из двух главных осей инерции сечения В любом другом случае нельзя

пользоваться вышеуказанным уравнением моментов относительно линии, перпендикулярной к плоскости изгиба, которая не известна. Мы, впрочем, знаем, что вопрос в таком случае решается составлением двух уравнений моментов, а именно моментов относительно каждой из двух осей инерции сечения

Но заметим, что в дальнейшем мы не будем предполагать последнего обстоятельства. Наши сечения всегда будут иметь одну из главных осей параллельной плоскости действия сил, которая неизменно будет совпадать с плоскостью изгиба.