ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ПРОСТОМ СЛУЧАЕ РАСТЯЖЕНИЯ ИЛИ СЖАТИЯ ПРИЗМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СНОВАНИЕМ

§ 29. Постановка задачи. Предварительное решение другой задачи, обратной по отношению к первой

Возьмем призму или цилиндр с произвольным основанием, испытывающие в поперечном направлении только нормальное и постоянное давление — (им может быть атмосферное давление или давление всякой жидкости).

В то же время их основания испытывают на единицу поверхности, кроме указанного воздействия — также постоянное и нормальное растягивающее усилие

Таким образом, поскольку давления, определенные в предыдущей главе, предположены действующими в положительном направлении прямых, перпендикулярных к граням, на которых они проявляются, то считают, что боковые грани испытывают нормальное давление — а основания — нормальное давление на единицу поверхности.

Нам предстоит определить перемещения точек этой призмы.

Хотя этот вопрос и является почти самым простым вопросом подобного рода, однако его трудно решить, исходя из неопределенных (32) и определенных (35) дифференциальных уравнений, даже для частного случая призмы с прямоугольным основанием, одинаковой упругостью во всех направлениях и при отсутствии бокового давления

решение задачи кажется совсем невозможным при произвольном контуре основания.

Но мы скоро узнаем, каково решение задачи о перемещениях, вызванных данными силами, изучив сначала задачу о силах, способных вызвать данные перемещения (§ 1).

И здесь нет даже необходимости использовать смешанный способ (§ 2) или задаваться одновременно перемещениями и силами.

Итак, задаемся такими перемещениями, чтобы удлинения в каждом из трех направлений х, у, z линий пересечения главных плоскостей упругости (§ 15) были бы одинаковыми во всей призме и представленными тремя постоянными причем направление х было бы параллельно ребрам призмы И чтобы сдвиги повсюду равнялись бы нулю.

Трехчленные и одночленные формулы (18) § 15, давая общие выражения составляющих давления через удлинения и сдвиги для этого случая трех главных плоскостей, показывают нам, что тогда во всей призме:

1) нормальные составляющие постоянны;

2) касательные же составляющие равны нулю.

Результаты решения задачи прямого отыскания сил, которую мы положим в основу вместо поставленной обратной задачи, не противоречат друг другу, ибо, кроме того, что имеются, очевидно, значения соответствующие удлинениям и сдвигам, которыми мы задаемся, также удовлетворяются неопределенные уравнения, взятые, например, в виде (30) § 20:

Внешние растягивающие усилия или давления, которые отсюда последуют, будут значениями найденными из определенных уравнений (35), а именно давлением на торцы призмы, которые перпендикулярны к х, при и давлением на боковую поверхность при так как всякая нормаль к этой поверхности перпендикулярна к оси х.

Отсюда для торцов получаем, что давление, которое можно скорее назвать напряжением или растягивающим усилием, должно быть постоянным и равным т. е. что является очевидным.

Для внешнего давления на боковой поверхности получаем уравнения (см. формулы (35)):

которые дают:

т. е. обычно переменно по величине и по направлению, но если удлинения таковы, что

то внешнее давление нормально к боковой поверхности и сводится к