§ 30. Полное решение поставленной задачи

Выводы из решения вопроса о силах дают нам все необходимые материалы для решения обратной задачи о перемещениях, поставленной в начале этой главы.

Мы удовлетворяем полностью, как это видно, общим неопределенным уравнениям и определенным уравнениям, выражающим то, что боковое усилие должно быть нормальным и равным а продольное растяжение, также нормальное, равно на единицу площади, если берем давления такими, что три сдвига равняются нулю, а три удлинения определяются из трех уравнений (31): Таким образом, мы берем такими, чтобы при были справедливы выражения:

Перемещения решающие задачу, т. е. имеющие нужные первые производные, определяются выражениями:

где (для сокращения) — правые части трех уравнений (55) или три только что найденные постоянные удлинения, шесть очень малых постоянных произвольных величин, которые представляют собой, как легко видеть, три поступательных смещения точек тела параллельно осям х, у, z и три поворота вокруг тех же осей.

Эти поступательные смещения и повороты равны нулю, когда призму считают закрепленной одним из ее концов так, чтобы одна из ее точек (например, та, которую принимаем за начало координат) оставалась неподвижной, так же как направления одной прямой и одной плоскости, которые проходят через эту точку.

Тогда получаем просто

где Эх, представляют собой всегда правые части уравнений (55) при Перемещения точек призмы пропорциональны соответствующим координатам.

Таким образом, мы видим, что если — сводится к атмосферному давлению, которым обычно пренебрегают, или, лучше сказать, если мы отыскиваем только перемещения, вызванные растягивающими усилиями без перемещений, уже произведенных усилием — действующим со всех сторон на тела, находящиеся в атмосфере, то, отбрасывая в выражениях (55) все, что они дают для или, что то же самое, взяв их значения при

и получим следующие соотношения между продольным удлинением Эх и удлинениями или, скорее, поперечными сжатиями

полагая

продольное же растягивающее усилие, производящее удлинение ему пропорционально:

где

Эта величина является, по Навье, коэффициентом упругости при растяжении, о чем мы уже говорили в §§ 16 и 24.

Выражения (59) и (60) сводятся в случае, когда ось х является осью упругости (§ 19), к

Эти выводы известны с давних пор, но некоторые ученые сомневались в их теоретической правильности и рассматривали их в некотором роде только как допустимые, так как им казалось, что они могут быть получены только посредством частных или неполных интегралов, в выборе которых имелись некоторые произвольные и гипотетические моменты. Мы видим, что они дают точное и полное решение вопроса для рассмотренного частного случая, т. е. в предположении постоянных поскольку они удовлетворяют всем условиям, как неопределенным, так и определенным.

Эти интегралы дают единственное решение задачи, так как перемещения полностью определяются, когда вместе с растягивающими усилиями и давлениями на всех точках поверхности тела задают положение одной из его точек, направление одной из его прямых и одну из его материальных плоскостей; ни прямым, ни косвенным путем нельзя получить другие значения перемещений, удовлетворяющие этим условиям, кроме найденных.

Следовательно, решения, которые Фурье дал задачам распределения тепла в различных частных случаях в зависимости от формы тел и температур их поверхности, рассматриваются как полные. Эти решения построены так, чтобы удовлетворять неопределенному условию, выраженному общим дифференциальным уравнением; они имеют коэффициенты, выбранные так, чтобы удовлетворить определенным условиям на границах; этих условий достаточно, чтобы сделать любую задачу полностью определенной.

Если мы, кроме того, хотим убедиться в единственности решения способом, кажущимся более аналитическим, то мы должны положить

и подставить в уравнения задачи.

Мы увидим, что будут перемещениями точек призмы, вызванными нулевыми силами. Эти перемещения окажутся сами по себе равными нулю. Таким образом, наши выражения дают полное и единственное решение.