ГЛАВА VIII. КРУЧЕНИЕ ПРИЗМЫ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ

§ 68. Состояние рассматриваемого вопроса

Вопрос о кручении призмы с прямоугольным основанием был разработан Коши в 1829-1830 гг.. Он разыскивает перемещения, не считая вначале, что они соответствуют кручению; но он рассматривает как очень малые измерения основания, чтобы иметь возможность отбросить на различных этапах вычислений в целых рядах, посредством которых он представляет перемещения и внутренние давления, квадраты и высшие степени поперечных координат Мы воспроизвели в другом месте его остроумный анализ, выводы которого, истолкованные геометрически, дали нам возможность заметить искривление сечений и были отправной точкой наших исследований. Коши дал для крутящего момента выражение

которое тождественно выражению найденному

нами (§ 53) для эллиптической призмы, когда полагают и подставляют значения моментов инерции для прямоугольника

Тот же анализ дает (при учете первых членов разложения)

откуда можно получить значение также подобное выражению, найденному нами для эллипса.

Коши дает свои выводы только как приближенные. Однако мы увидим (§§ 74,86 и 111), что предыдущее выражение для крутящего момента проверенное опытами Савара на очень тонких призмах, может рассматриваться как точное, когда одно из измерений основания очень велико сравнительно с другим. Им можно также пользоваться в других случаях, умножая его на численный коэффициент, который изменяется только в пределах от 0,84 до 1 (см. § 85).

Нас заставило настойчиво искать точное выражение для любого отношения этих двух измерений то обстоятельство, что в соответствии со второй из двух основных теорем теории давлений (§ 10) (данных тем же знаменитым математиком) поэтому равенство нулю составляющих в продольном направлении х давлений на боковых внешних гранях, перпендикулярных соответственно к осям у и z, влечет за собой в местах, где грани пересекаются, одновременно равенство нулю двух поперечных составляющих давления, испытываемого прямоугольным сечением призмы. Отсюда следует, что в этих углах (как вообще во всех выступающих углах, даже не прямых, которые могут быть в прямых сечениях призмы) давление может действовать только нормально к сечению, так что в этих точках нет никакого сдвига и сечение вынуждено искажаться, чтобы оставаться нормальным к четырем выступающим ребрам, которые становятся искривленными. Итак, это

нельзя найти из выражения в соответствии с которым именно наибольшие сдвиги имеют место в четырех углах прямоугольных сечений; отсюда мы должны заключить, что к такого рода искривлению, на которое оно указывает, нужно добавить другое, которое проявляется особенно у углов сечений и которое существует, когда