§ 25. Интегрирование с помощью трансцендентного ряда

Мы удовлетворяем дифференциальному уравнению взяв для сумму членов вида где связаны соотношением Отсюда Замена мнимой показательной

функции ее тригонометрическим выражением приводит к исчезновению посредством выбора других коэффициентов. Обозначая через 2 сумму, охватывающую все возможные значения имеем общий интеграл

Для удовлетворения условия нужно, чтобы синусы исчезли или чтобы Чтобы получить при приравняем коэффициенты членов с одинаковыми по величине, но противоположными по знаку что даст нам

Что касается третьего условия при то оно может удовлетвориться одновременно с предыдущим, если установить некоторое соотношение между всеми коэффициентами позднее оно послужит нам для определения постоянной

Второе определенное условие (94)

превратится, таким образом, в

Его можно удовлетворить, взяв величины такими, чтобы откуда

где какое-либо целое число.

Это выражение нужно подставить вместо в формулу и использовать все значения включая сюда без чего интеграл не был бы общим и не мог бы дать то, что мы ищем. Но в соответствии с его формой

можно ограничиться членами, отвечающими положительным значениям так как члены, образовавшиеся из одинаковых по величине значений, различающихся знаком, просто объединяются путем сложения коэффициентов. При дифференцировании входит в качестве множителя под знаком суммы, поэтому следует применить этот знак только к значениям начиная с написав за знаком член для

Для того чтобы увидеть, каков этот член, развернем эти две показательные функции для значений или полагаемых сначала весьма малыми. Мы получим выражение которое будет конечным, если положить одновременно бесконечным, равным нулю. Обозначив этот член через получим для нашего общего интеграла выражение

Тогда первое определенное условие (94) будет

Для получения отсюда общего выражения заметим, что когда мы хотим развернуть функцию в ряд по

косинусам кратных дуг, которая подобно нашей не изменяется при перемене знака у и рассматривается в пределах от до то нужно пользоваться формулой Эйлера

постоянный член которой получается, как известно, при

Итак,

откуда

Приравнивая это выражение левой части и сравнивая затем в обеих частях уравнения постоянные слагаемые, которые образуются из членов, соответствующих и сравнивая таким же образом слагаемые, содержащие получаем:

Мы могли бы равным образом прийти к этим величинам подобно Эйлеру и Фурье (Fourier), считая неизвестной общую формулу разложения (100) и интегрируя сначала от О до обе части определенного условия (99) что уничтожило бы все члены 2 и Дало бы в результате значение (101) для К, которое мы только что написали. Затем при интегрировании от до обеих частей того же уравнения (99), умноженных в этот раз на (так как поскольку в зависимости от того, отличается ли от или все члены как за знаком 2, так и под знаком 2 исчезают, за исключением одного, который дает значение (101) для коэффициента

Подставляя выражения (101) вместо получаем для искомой функции формулу

Но остается, как мы сказали, подчинить эту функцию последнему условию, а именно — при

Мы будем располагать для этого пока еще неопределенной постоянной и это приведет нас к определению значения этого сдвига в начале координат. Следовательно, мы получим: