§ 136. Краткое повторение формул и практические правила

Пусть:

а — длина твердого призматического или почти призматического элемента, прямолинейная ось которого проходит через центры тяжести сечений и перпендикулярна к ним;

- площадь одного из этих поперечных сечений;

- наименьший и наибольший моменты инерции площади со относительно прямых, которые проведены через ее центр, т. е. моменты инерции относительно двух главных осей;

у и z - поперечные координаты какой-либо точки или центра какого-либо элемента сечения относительно этих

двух главных осей инерции, которые согласно допущению имеют одинаковые направления на всех сечениях. Таким образом,

х - продольная координата, отсчитываемая по оси элемента;

полярный момент инерции или ее момент инерции относительно центра тяжести;

- радиус-вектор, равный так что

— в частном случае радиус сечения если оно является кругом;

- его большая и меньшая стороны сечения, если оно является прямоугольником, или его большая и меньшая оси, если оно имеет форму эллипса или аналогичную ему.

Пусть согласно предположению тело или часть тела подвергается воздействию различных внешних сил только на концах или очень близко к концам (боковые грани в промежутке подвергаются только действию атмосферного давления, которое не принимают в расчет, если на основания также действует атмосферное давление и если учитывают только перемещения, не связанные с атмосферным давлением);

- суммы составляющих в направлениях осей х, у, z сил, которые действуют на один из концов (такие же суммы для сил, действующих на другой конец, должны быть для равновесия равными и противоположными);

- три суммы моментов этих сил: 1) относительно оси х или оси тела; 2) и 3) относительно двух главных осей сечения параллельных осям

Таким образом, или является крутящим моментом, а изгибающим моментом, которым должны быть равны и противоположны момент относительно продольной оси х тела и наибольший момент относительно поперечных линий, проведенных на со через его центр, внутренних воздействий или давлений, которые проявляются через различные элементы того же сечения;

- угол, образованный плоскостью действия изгибающих сил или плоскостью момента с плоскостью наиболее легкого изгиба, т. е. с плоскостью

Вследствие перемещений, испытанных точками твердого элемента под действием этих сил, возникают:

- угол (отличный от во всех случаях, когда не имеем либо или который образует с той же плоскостью наиболее легкого изгиба плоскость действительного изгиба или плоскость, в которой будет происходить искривление оси тела;

- радиус кривизны этой оси в том месте, где она пересекает сечение

радиусы кривизны в том же месте проекций искривленной оси на плоскости

— кручение тела или очень малый угол, на который повернулось соседнее к со сечение по отношению к сечению со в направлении от у к угол, разделенный на малое расстояние между этими двумя сечениями; этот угол определяется дугой на единице расстояния от оси кручения; таким образом, если в постоянно от одного конца до другого и если а — выраженный в градусах угол, на который поворачивается одно из крайних сечений относительно другого, то имеем:

- продольное удлинение или очень малое относительное увеличение длины (положительной или отрицательной) малой части волокна или призматического элемента, имеющего прямое сечение в виде элемента

— сдвиги в плоскостях в центре элемента или очень малые уменьшения (положительные или отрицательные), испытанные первоначально прямыми углами, образованными до перемещений малой материальной линией, параллельной х, и малыми материальными линиями, параллельными положительным у и z, пересекающимися в центре

- главный сдвиг в этом месте или уменьшение первоначально прямого угла между малой линией х и плоскостью элемента ;

— наибольший главный сдвиг в различных точках сечения;

число (в пределах от 1 до 2), на которое нужно умножить наклон к оси при кручении наиболее близкого к ней ребра призмы, чтобы получить наибольший сдвиг или наклон того же ребра к элементу сечения, которое при кручении также наклонилось.

Пусть, наконец, для материала, из которого состоит тело:

или просто коэффициент упругости при продольном растяжении или такое число, при котором сила растяжения, способная придать удлинение волокну, имеющему основание в виде элемента сечения и не испытывающему никакого бокового воздействия в направлении, перпендикулярном к его длине;

или просто такое число, что выражает наибольшее значение, которое могли бы сообщить этому удлинению без опасения произвести с течением времени разрушение или разъединение (см. § 24);

- коэффициенты упругости при сдвиге в плоскостях или такие числа, при которых были бы усилиями, приложенными касательно к элементу в направлениях чтобы произвести сдвиги (полагаем, что материал однородный, но неравномерного строения в различных направлениях, имеет три плоскости симметрии строения, которые обязательно являются главными плоскостями упругости, пересекающимися по линиям, параллельным осям

— такие числа, что 7, представляют пределы

сдвигов при которых удлинения в косых направлениях, являющиеся их следствием, не подвергают материал опасности нарушения сплошности;

Поэтому, если нет удлинения в направлениях осей х, у, z, то условие сопротивления разрушению просто будет

Получим следующие формулы:

А. Общая формула сопротивления разрушению твердого тела, подвергнутого одновременно растяжению или сжатию в продольном направлении, изгибу, кручению и деформирующегося при поперечных сдвигах, наклоняющих его волокна к сечениям.

Замечание. Эта формула является точной: одновременно когда когда или в точке максимума (например, когда призма прямоугольная и имеет боковые грани, перпендикулярные к осям когда и приближенной в других случаях.

В этой формуле нужно полагать от до (см.§§ 122,128); можно без заметной погрешности в результатах принимать постоянно эту неизвестную величину равной или

последовательно равно его значению, относящемуся собственно к удлинениям или к положительным , и его значению, относящемуся к сжатиям или к отрицательным если изменить знак члена вне корня, чтобы сделать его положительным;

где части сдвигов (обычно пренебрежимо малые), вызванные поперечными воздействиями части, даваемые формулами, относящимися к случаю только одного сдвига (см. далее пункт

формулы от до когда сечения могут свободно изгибаться;

— части сдвигов, вызванные кручением, зависящие от и, следовательно от момента даваемые формулами, относящимися к случаю только одного кручения (см. далее пункты формулы когда сечения могут искривляться свободно;

если любой формы сечение со находится в тех исключительных положениях, когда оно не может изгибаться в виде гуська под влиянием поперечных воздействий (см. § 125);

если это сечение находится в одном из тех исключительных положений, когда не может осуществиться искривление, которое кручение стремится придать всякому некруговому сечению.

B. Одно лишь продольное растяжение.

Условие сопротивления разрыву:

C. Одно лишь продольное сжатие.

(с), (с). Те же выражения но при других значениях Мы дали бы другое значение если должны были заметно превысить предел, после которого получаются остаточные деформации. Разумеется также, что остается меньше силы, способной вызвать изгиб при сжатии.

D. Один лишь сдвиг сечений друг перед другом в поперечном направлении (срез) или волокон друг относительно друга (продольная трещина).

D. Плоское сечение может свободно изгибаться в виде гуська (§§ 124, 125).

1) Когда это сечение является эллипсом, если формулы (84), (85)):

Примечание. Если не равно нулю, следует только сложить выражения, в которые входят с выражениями, содержащими

2) Когда это сечение становится кругом, т. е. когда

3) Когда сечение является ложным эллипсом (овалом), кривая заключена между эллипсом и описанным прямоугольником; полагая имеем для случая воздействия только в направлении

4) Когда сечение является прямоугольником, стороны которого параллельны осям то выражаются сложными тригонометрическими рядами, которые могут быть приближенно сведены (конец § 40) к

Условия сопротивления разрушению для всех сечений, когда суть значения в центре, т. е. при будут:

что дает приближенно: для прямоугольного сечения

или точно при для эллиптического сечения

для кругового сечения или в более общем случае для эллиптического сечения при и сечения в виде ложного эллипса (овала) при и произвольном отношении между и с:

Для эллиптического и прямоугольного сечений (расчеты для них аналогичны, если вычислять по тригонометрической

формуле цитированного мемуара об изгибе) пользуются таблицей:

(см. скан)

D2. Если сечение произвольной формы находится в одном из тех положений, когда оно не может искажаться (§ 125), то

Сопротивление разрушению

или

если

D3. Если есть сомнение, то надо взять выражения от до которые учитывают искажение и дают большую уверенность, чем выражения от до не учитывающие наличие искажения.

Е. Только изгиб.

(е) Наклон у плоскости действительного изгиба дается формулой

Он отсчитывается между плоскостью действия сил, которая образует угол и плоскостью наиболее легкого изгиба. Отклонение имеет максимальное значение, когда

Кривизна

ее проекции

Стрела прогиба или наибольшая ордината изогнутой оси на расстоянии а от точки, где изгибающий момент будет

ее проекции

Удлинения (положительные или отрицательные) волокон вследствие изгиба будут:

Сопротивление разрушению

или

для прямоугольного сечения

для эллиптического сечения

Если имеем или то эти формулы сводятся к следующим известным формулам (где расстояние от какой-либо точки сечения до перпендикуляра к плоскости действия сил, проведенного через его центр; V — наибольшее значение V):

Если равно прямому углу, то те же формулы имеют у вместо

Примечание. Мы не приводим широко известные частные значения момента инерции и отношения у для различных форм сечений.

F. Изгиб вместе с продольным растяжением или сжатием. Справедливы те же формулы, что и для изгиба, но вместо получаем:

Нижний из знаков относится к случаю, когда стремится создавать сжатие; но правую часть второго уравнения всегда следует брать положительной. Только кручение.

1) Случай равномерного строения в поперечном направлении:

Примечания: 1) В первой форме выражения для наиболее удобны для пользования. Другие формы имеют главной целью сравнить значения для различных форм сечения при равной площади со или при одинаковом количестве материала.

2) Предельное значение всегда получается при подстановке в первое выражение вместо в его значения, полученного из выражения равного —

3) Нет необходимости, когда имеется только кручение, рассматривать, существует ли какое-нибудь сечение, вынужденное оставаться плоским или препятствовать искажению, так как значения которые мы имели бы для этого особого сечения, всегда больше, чем нижеуказанные значения, пригодные для других сечений.

G. Круговое сечение радиуса

или

(см. скан)

(см. скан)

где коэффициент в пределах взятый из заключительной таблицы, или причем берется из той же таблицы, но изменяется только от 3,08 до 3,36 или представляется приближенно и эмпирически посредством формулы

изменяется от 0,843 до 1 и берется из той же таблицы, но остается приблизительно постоянным и равным 0,85

у (между 1,35 и 2), — и берутся из заключительной таблицы (§ 138).

где получается из той же таблицы или же можно взять эмпирически и приближенно.

G5. Сечение в виде равностороннего треугольника со стороной k.

(см. скан)

G6. Квадратное криволинейное сечение с закругленными углами.

(см. скан)

G7. Криволинейное квадратное сечение четвертой степени с острыми углами и вогнутыми сторонами приблизительно на 1/22 стрелы прогиба,

(см. скан)

наибольший диаметр; наименьший диаметр.

(см. скан)

G8. Сечение в виде звезды с четырьмя закругленными концами, с уравнением восьмой степени. Полярное уравнение

где наибольший диаметр; наименьший диаметр вдвое меньше и равен

(см. скан)

G9. Сечение другой формы, отличной от вышеуказанных. Если у нас нет времени построить замкнутую кривую, которая приближается к контуру данного сечения, давая надлежащие численные значения коэффициентам уравнений в переменных у и z или § 91, то мы ограничимся измерением его площади и полярного момента Далее по числу, на которое нужно будет разделить для получения также по форме контура (§ 115), выведем по аналогии с вышеприведенными формами приближенные значения численных коэффициентов, на которые нужно разделить или, скорее, величину для получения для получения

Н. Только кручение. Второй случай неодинакового строения, но при наличии трех плоскостей симметрии или главных плоскостей упругости, пересекающихся соответственно осям х, у, z.

Н1. Сечение эллиптическое или круговое

(см. скан)

или

Н2. Прямоугольное или квадратное сечение. Стороны

где — коэффициент между 2,249 и 5,333, приведенный в заключительной таблице (§ 138), или где дается в той же таблице, но изменяется только между 3,08 и 3,36 или представляется эмпирически и приближенно посредством формулы

Коэффициент [I изменяется от 0,843 до 1, он дается также таблицей и остается приблизительно постоянным и равным

Частные даются той же таблицей для каждого значения

1. Растяжение и поперечный сдвиг. Так как в этом случае (пункт А, формула просто наибольшие значения равны соответственно (пункт умноженным на 1, если сечение остается плоским, и на численные коэффициенты, зависящие от его формы, если сечение изгибается, то общая формула сопротивления

разрыву при дает

где — площади, которые следует дать сечению, (О если деталь подвергалась соответственно только растяжению и только сдвигу или срезу.

Отсюда получаем:

(см. скан)

Примечание. Эта формула применима к малым болтам или заклепкам, одновременно растягиваемым и срезаемым без изгиба.

J. Изгиб и поперечный сдвиг. Когда силы, создающие изгиб, имеют суммы составляющих в поперечном направлении, то изгиб в этом направлении сопровождается сдвигом, а сечения, первоначально плоские, стремятся изогнуться в виде гуська или в виде буквы S.

Наклон плоскости изгиба, кривизна продольные удлинения находятся, как в пункте (только изгиб), по формулам

Стрела прогиба. Вместо возьмем для стрелы и ее проекций чтобы учесть сдвиг, выражения:

где имеет следующие значения имеет те же значения, когда принимают вместо с и с вместо

(см. скан)

Если ничто не препятствует плоскости сечений изгибаться в виде гуська, то мы вычислим сопротивление в предположении, что имели место только изгиб (пункт или только сдвиг (пункт формулы и примем для выбираемых размеров наибольший из результатов этого двойного вычисления.

Если одно из сечений, наиболее подверженных опасности, т. е. с самым значительным изгибающим моментом является сечением, плоскость которого не может изгибаться, то возьмем (пункт А, формулы

Если сечение прямоугольное, то мы заменяем просто на с, у на и зачеркиваем знак максимума.

Пример для случая

где — размеры, которыми задаются, если имеется только изгиб;

Отсюда для ширины прямоугольной призмы, если задана полутолщина имеем:

Таким образом:

Для толщины при заданной полуширине

Эти формулы сопротивления следует применять только для очень коротких призм.

К. Изгиб и кручение.

К1. Круговое сечение. Полагаем (обозначается т. е. ось симметрии строения параллельна оси тела:

где заданный радиус сечения, его значение только при изгибе, то же только при кручении,

Таким образом:

То же сечение. Случай вращающегося цилиндрического вала, подверженного воздействию в противоположных направлениях двух шестерен или двух приводных ремней.

Та же формула и та же таблица, когда берут вместо выражение (322) § 129, а вместо наибольшее из двух значений выражения (321) в месте расположения того или другого шкива. Мы будем принимать в расчет вес вала, пренебрегая сперва его влиянием, чтобы получить первое приближение для величины радиуса, а затем исправим вычисление.

То же круговое сечение. Случай, когда мы изменяем радиус сечения, чтобы вал имел равное сопротивление.

Формула или

даст различные значения этого радиуса, если подставить вместо его выражение (321) через расстояние х от каждого сечения до одного из концов.

То же круговое сечение. Стержень переменного радиуса, защемленный одним концом. К другому концу

перпендикулярно к длине стержня приложена изгибающая и скручивающая сила сила действует посредством поперечного рычага длины k.

К2. Общий случай прямоугольного сечения. Формулы (324) или (327) § 130, когда отыскивают максимум или положение опасной точки путем численного приближения, как в §§ 132 и 133.

То же прямоугольное сечение. Случай когда тело изгибается плашмя или в плоскости наиболее легкого изгиба; это происходит в том случае, если оно подвергается действию силы в этой плоскости или же когда оно чрезвычайно тонко:

Таким образом:

То же сечение. Прямоугольные призмы, испытывающие действие сил в плоскостях, образующих с гранями различные углы.

1) Квадратное сечение, или случай

См. таблицу результатов в § 132 (вторая таблица).

2) Прямоугольное сечение, одна из сторон которого вдвое больше другой, или случай

См. третью таблицу в § 133.

К3. Эллиптическое сечение.

Если призма или эллиптический цилиндр подвергаются действию сил плашмя или в плоскости наиболее легкого изгиба, то следует пользоваться той же формулой как для прямоугольного сечения.

Если призма изогнута в положении на ребро или косо, то надо применять формулы (336), (333) § 134, отыскивая максимум путем численного приближения, как сделано в этом параграфе для случая при изгибе в положении на ребро.

И если имеет место последний случай и изгиб в положении на ребро), то надо использовать вторую таблицу того же § 134.

Другие сечения, кроме круга, прямоугольника и эллипса.

Следует применять общую формулу и формулу пункта А, заимствуя в пункте сдвиги и исключая в посредством выражений того же пункта и находя максимум путем численного приближения.

L. Одновременный изгиб, кручение, растяжение и сдвиг.

Надлежит применять общую формулу пункта А, производя численное приближение для получения максимума.

Например, в случае кругового сечения, если пренебречь действием сдвигов, не зависящих от кручения, то для получения постоянного или переменного радиуса надо решать численно уравнение (312) § 128:

где продольная сила и крутящий момент постоянны для каждой части тела, а изгибающий момент изменяется от одного конца до другого. Задаем наибольшее значение, если хотим, чтобы радиус был постоянным.