§ 134. Одновременный изгиб и кручение призм с другими основаниями (кроме круга и прямоугольника). Эллиптический цилиндр

Общая формула (296) § 124 будет всегда применима к различным призмам, которые могут одновременно подвергаться растяжению и поперечному сдвигу силами

Мы приведем в заключительном резюме (§ 136) выражения для сдвигов, вызванных кручением, которые соответствуют уравнениям сечений третьей, четвертой и восьмой степеней.

Рассмотрим здесь только цилиндр с эллиптическим основанием, большая и малая оси которого параллельны осям В соответствии с выражениями § 107 (формулы (241) и

формула (296) превратится при

(см. скан)

если пренебречь отношением так же как частями сдвигов, вызванными поперечными воздействиями, и подставить вместо у, у их значения и вместо Максимум надо искать относительно двух переменных связанных соотношением

так как опасная точка находится на контуре сечения.

Если мы берем один из двух самых простых случаев, когда или то дифференцирование правой части уравнения (334) действительно приведет к уравнению первой степени, дающему значение z или у, которое обращает дифференциал в нуль; мы легче получим подобное уравнение, если будем дифференцировать только после того, как приравняем выражение (334) неопределенной величине и перенесем члены, чтобы исключить корень, принимая затем неопределенную величину равной единице, а ее дифференциал нулю.

Но мы выясним вскоре, что найденные таким образом значения z или у не относятся к вопросу о максимуме, который нужно определить. И это неудивительно, так как выражение (334) для или в крайних случаях при или имеет первую степень относительно а его квадрат первую степень относительно но известно, что нельзя получать посредством дифференцирования максимум функции первой степени, если ее аргумент может принимать только ограниченные значения (§ 121).

Следовательно, в каждом случае, т. е. для каждого значения угла отношения изгибающих и крутящих моментов и т. д., лучше будет разыскать максимум путем численного приближения, так же как мы советовали в § 121.

Мы воздерживаемся от этого, когда при призма подвергается изгибу плашмя или параллельно малой оси оснований, т. е. когда , так как опасная точка соответствует тогда, очевидно, или одному из концов этой малой оси, что дает, когда

являются значениями при формулу

Из нее получаем те же следствия (§§ 131, 127), что и из полностью подобной формулы (331), пригодной для прямоугольной призмы, подвергнутой действию сил, приложенных плашмя.

Но если эллиптическая призма подвергается воздействию сил в положении на ребро, то уже необходимы попытки, чтобы путем приближения определить опасную точку и условие сопротивления. В самом деле, полагая и имея в виду, что в крайних случаях соответственно получаем

и, учитывая, что на контуре приводим уравнение (333) к виду

или

если для того, чтобы избавиться от неопределенности, мы зададимся отношением осей т. е. положим

Пока это выражение (338) возрастает вместе с его максимум или

опасная точка соответствует или вершине, которая находится на конце большой оси как если бы имел место изгиб. Но максимум может получиться при и в другом месте, а не в этой вершине; это является тем скачком, о котором мы говорили в § 121 и который является причиной того, что максимум не может быть найден дифференцированием.

Пусть, например,

В таблице на стр. 335 представлены различные значения правой части уравнения (338).

Отсюда следует, что когда призма с эллиптическим основанием, ось которого 26 вдвое больше оси должна сопротивляться одновременно усилию, изгибающему ее в положении на ребро, т. е. параллельно ее большому размеру 26, и усилию, ее скручивающему, то, вычислив значения произведения в предположении, что призма подвергалась бы действию только изгибающего усилия, и в предположении, что призма подвергалась бы действию только скручивающего усилия, получаем для определения произведения большой полуоси на квадрат малой полуоси следующую таблицу, которая также дает абсциссу у точки, где может произойти разрушение:

(см. скан)

(см. скан)

Значения отношения показывают, что опасная точка остается на конце большой оси 26, пока отношение оценивающее относительное влияние кручения и изгиба, не превышает (что немного превосходит нижний предел что затем эта точка перемещается последовательно через все точки каждой четверти эллиптической окружности, но достигает концов малой оси только тогда, когда усилие при изгибе становится пренебрежимо малым по сравнению с усилием при кручении.

Мы видим также из сравнения с предпоследней строчкой цифр последней таблицы § 133, что влияние одновременности приложения двух видов воздействий проявляется в меньшей степени для призмы с эллиптическим основанием, подвергающейся действию сил в положении на ребро, чем для прямоугольной призмы, подвергающейся такому же действию и имеющей то же соотношение между двумя поперечными размерами.