МЕМУАР ОБ ИЗГИБЕ ПРИЗМ
О поперечных и продольных сдвигах, которые ему сопутствуют, когда изгиб не происходит равномерно или по дуге окружности, а также об искривлении первоначально плоских поперечных сечений
§ 1. Прежние исследования по теории изгиба
В связи с задачей разрушения призм при изгибе высказывается мнение, что теория сопротивления твердых тел основана Галилеем, а затем сформулирована на правильной основе Мариоттом (Mariotte), связавшим эту теорию с упругостью твердых тел, основной закон которой был открыт несколько ранее Робертом Гуком (R. Нооке).
Галилей (Galilei), представляя себе горизонтальную прямоугольную призму разделенной на волокна или продольные элементы, полагал, что все они разрываются вместе и оказывают одинаковое сопротивление, когда под действием вертикальной силы одна часть призмы отделяется от другой, поворачиваясь, как он думал, относительно нижней стороны поперечного сечения в месте разрыва.
Мариотт (Mariotte), наоборот, считал, что волокна растягиваются и сжимаются перед разрушением, которое начинается у одного из волокон, и что до этого момента они сопротивляются в соответствии со степенью их растяжения или сжатия, величина которых предполагается пропорциональной расстоянию до волокон, не меняющих длины. Он поместил последние, а следовательно и ось вращения, посредине высоты сечения, по которому происходит разрыв, как это делают и в настоящее время. Но странно, что он затем допустил в выводах ошибку, которая состоит в одновременном изменении и плеча рычага, и силы с целью удвоения их произведения. Он нашел момент сопротивлений «таким, как будто бы все части призмы растягивались», т. е. как будто вращение производилось бы относительно низа сечения, а не середины его. Это ему дало две трети результата Галилея, тогда как в соответствии со своим отправным положением он должен был получить только одну треть.
Удивительно, что спустя 20 лет Якоб Бернулли (J. Bernoulli), великий математик, автор первой теории упругих кривых, также допуская сжатия и предлагая свои собственные соображения, совершил в другой форме именно такую же ошибку, состоящую в удвоении момента сопротивлений. Это привело его даже к утверждению, что положение оси вращения совершенно безразлично.
Только в 1773 г. Кулон (Coulomb) в своем знаменитом труде, заложившем почти все основы теории прочности сооружений, исправил эту ошибку в вычислении. Помещая подобно Мариотту и Бернулли линию неизменяемых волокон посредине высоты сечения, полагаемого прямоугольным, он установил на основании очевидной леммы статики принцип, который должен служить для определения этой линии в случае сечений любой формы, а именно равенство нулю полной алгебраической суммы продольных сопротивлений волокон
призмы, на которую оказывается воздействие только в поперечном направлении. Он дал точную величину суммы их моментов, вдвое меньшую против найденной Мариоттом в результате его ошибочных вычислений и Лейбницем (Leibnitz) ввиду его предположения, что неизменяемые волокна фактически находятся в нижней части сечения.
Кулон, впрочем, отчетливо отмечает, что если материал призмы не следует вплоть до своего разрушения закону пропорциональности между усилиями и удлинениями или сжатиями, то окончательная ось вращения может находиться не только посредине сечения. Но он отвергает мнение, будто она может находиться внизу, по той очевидной причине, что линия, не имеющая толщины, не может выдержать конечное давление.
Только в настоящем столетии его мемуар, на трех страницах которого, озаглавленных «Замечание о разрушении», содержится так много, был, наконец, изучен и понят. Однако это произошло не сразу. Так, Дюло (Duleau), давая то же выражение, что и Кулон, для суммы моментов сопротивлений и помещая таким же образом линию неизменяемых волокон (в прямоугольной призме), определял в общем случае положение этой линии из условия, «что сумма моментов сопротивлений сжатию равнялась бы сумме моментов сопротивления растяжениям». Это ошибочное правило привело бы его к положению, весьма далекому от истины для тех сечений, которые не делились бы этой линией на две симметричные половины. Барлоу (Barlow) в Англии сделал подобную же ошибку, которую он чистосердечно признал и сам исправил в своей последней работе о прочности материалов, сославшись на указание, сделанное ему Годкинсоном (Hodgkinson). Его искусный и ученый соотечественник
Тредгольд (Tredgold), помещая нейтральную ось подобно Барлоу и Кулону в ее правильном положении для прямоугольных сечений, придумал своеобразный закон, чтобы определить ее положение в сечениях иной формы. Тредгольд еще не понимал весьма простой закон равновесия составляющих сил в направлении, параллельном волокнам, упомянутый Кулоном.
Навье (Navier) помещал некоторое время неизменяемые волокна подобно Галилею, Лейбницу и Жирару (Girard) в нижней части сечения и позволил себе высказать различные сложные соображения, от которых вынужден был вскоре отказаться. Наконец, он дал в 1824 г. в своих лекциях, отпечатанных по частям и опубликованных в 1826 г., теорию вопроса в соответствии с принципом Кулона. Эта теория принята в настоящее время в сопротивлении материалов не только для разрушения при изгибе, но и для обычного изгиба без разрушения, для самых простых случаев которого в 1807 г. предложил формулы известный физик Т. Юнг (Th. Young). Это стало затем предметом ряда прекрасных исследований Дюло и Дюпена (Dupin).
В то же время Навье высказал (на что Юнг указал между прочим) правильное мнение, что можно вывести формулы изгиба, чтобы предотвратить возможность последующего разрыва призмы, ограничивая надлежащим образом удлинения или усилия, которые в таком случае не перестают приблизительно следовать законам упругости и пропорциональности и на которых основываются эти формулы. Таким образом, нет необходимости в конечном счете располагать ось
вращения в каком-либо другом положении, а не в том, в котором она находится при малой величине изгиба.
Мы не упоминаем здесь о других услугах, оказанных данной отрасли механики этим выдающимся ученым, который первым в 1821 г., т. е. именно в то время, когда он сомневался в формулировке приближенной теории Мариотта и Кулона, создал полную и точную теорию, дав общие формулы равновесия и внутреннего движения упругих твердых тел, накоторых отныне должно основываться всякоеточное исследование деформаций, вызываемых действием сил. Навье присоединил к этому теорию давлений или внутренних напряжений, введенную Коши (Cauchy) в 1822 г. и рассмотренную несколько позднее Пуассоном (Poisson), а также Ламе (Lame) и Клапейроном (Clapeyron), которые в то время выполняли поручение за пределами Франции и не знали о ранее опубликованных работах в тот момент, когда они представляли свой превосходный мемуар 1828 г., часть которого введена Ламе в его блестящие лекции по теории упругости.
