§ 10. Соотношения между давлениями на различные грани, имеющие центр в одной точке

Коши, устанавливая уравнения равновесия при поступательном смещении элемента в виде тетраэдра и уравнения равновесия при повороте относительно своей оси элемента в виде призмы с ромбическим основанием, пришел, пренебрегая величинами, пропорциональными объему, при наличии величин, пропорциональных площадям, к двум весьма важным теоремам, применимым к давлениям как в

твердых, так и в жидких телах, как в состоянии покоя, так и в состоянии движения:

1) давление на малую плоскую грань является равнодействующей давлений, испытываемых ее тремя прямыми или косыми проекциями на три произвольные плоскости, проходящие через ее центр тяжести;

2) когда две малые плоские грани имеют одинаковую площадь и один и тот же центр, то проекция давления на первую на нормаль ко второй равна проекции давления на вторую на нормаль к первой.

Рис. 11

Легко видеть правильность этих теорем, если заметить, что число и полная результирующая молекулярных действий, которые осуществляются параллельно прямой через различные малые грани имеющие общий центр о (рис. 11), являются одинаковыми для всех граней, если эти грани имеют одинаковую проекцию на плоскость, перпендикулярную к эта результирующая, пропорциональная к тому же площадям граней, которые могут образовать часть той же плоскости (см. предыдущий параграф), пропорциональна проекции если эта проекция имеет неодинаковые размеры для этих различных граней. Из этого замечания выводим непосредственно:

1) воздействия, параллельные какой-либо прямой, передаваясь через грань А, имеют такую же полную результирующую, как и воздействия, передающиеся через ее

проекции на три какие-либо плоскости, ибо эти проекции, спроектированные на другую плоскость, всегда дают сумму проекций, равную проекции А на эту последнюю плоскость; следовательно, поскольку давления являются общими равнодействующими воздействий, осуществляющихся во всех направлениях, то давление на А может быть заменено давлениями на что и является первой теоремой о проекциях плоскостей давлений;

2) если две грани имеют одинаковую площадь, то результирующие воздействий, которые их пересекают параллельно линии (рис. 12), являются как бы косинусами углов, которые они образуют с плоскостью перпендикулярной к или, что то же самое, как бы косинусами углов , которые образованы линиями нормальными к этим граням, с линией

Рис. 12

Эти два воздействия (или суммы сил), имеющих направление будучи спроектированы: первое — на вторую нормаль второе — на первую нормаль дадут, очевидно, один и тот же результат,

так как мы будем иметь с двух сторон одну и ту же величину, умноженную на два косинуса, которые являются косинусами тех же двух углов пот, пот. Итак, взяв две общие равнодействующие этих проекций сил для всех направлений получим совпадающие результаты, и, следовательно, имеется равенство между давлением на первую грань спроектированным соответственно второй нормали и давлением на вторую грань спроектированным соответственно первой нормали что является второй теоремой взаимности составляющих давления.