§ 97. Условия, при которых эти кривые замкнуты
Для того чтобы восьми точкам
и
соответствовал непрерывный и замкнутый контур, необходимо:
1) чтобы кривая не пересекала оси у и z в точках, более близких к началу координат, чем точки, соответствующие 
так как это были бы те точки, которые принадлежали бы к замкнутой части, у которой радиусы 
от 
до 45° не находились бы между собой в желательном соотношении;
2) чтобы в точках 
та же кривая поворачивалась своей вогнутостью соответственно к осям 
так как если бы она повернулась к ним своей выпуклостью, то эти точки (для предполагаемого случая, когда 
меньше 
были бы вершинами ветвей бесконечных кривых.
Первое из этих условий будет выполнено, когда уравнение
которое мы получаем, полагая 
и деля на 
даст для 
только корни или большие единицы, или отрицательные.
Второе условие (условие вогнутости) будет выполнено, если при 
значение 
полученное из первого уравнения (215) кривой, отрицательно. Итак, находим:
или, подставляя вместо а его значение (218), выраженное через 
Этот дифференциальный коэффициент будет отрицательным, если мы возьмем для а положительное значение, заключенное между значениями двух выражений:
Первое из этих выражений всегда положительно (так как 
Если при этом второе выражение также положительно, то справедлива вышеуказанная рекомендация для выбора а. Если же второе выражение отрицательно, то за а надо брать любую величину, меньшую первого из выражений. Мы не будем этого предполагать, так как тогда получили 
или 
и могли бы ограничиться уравнением четвертой степени, рассмотренным в предыдущем параграфе.
Предположим, например, что 
Тогда выражения (222) будут иметь значения:
Это и есть те пределы, между которыми должно выбираться значение а.
Оба предела (222) сливаются или становятся одинаковыми, когда 
откуда
И поскольку общее значение обоих пределов равно тогда 0,25, то можно взять
Но тогда первое условие не выполняется, так как уравнение 
имеет действительный корень 
и, следовательно, меньший единицы.
Итак, нельзя снизить до 0,45473 отношение 
наименьшего диаметра к наибольшему.
Другая попытка нам показала, что нельзя приравнять это отношение 
даже 
