§ 123. Простой и непосредственный вывод этих формул

Прежде чем дать применение формулам и указать способ их обычного использования, покажем, как можно их просто и непосредственно вывести. Пусть (рис. 59) — отрезок в плоскости главного сдвига (§ 7) для чрезвычайно малой части сечения тела плоскостью,

перпендикулярной к х, согласно допущению совпадающей, так же как точки со своим первоначальным положением. Материальная линия очень малой длины направленная первоначально по х и ставшая удлинится на и наклонится (§ 5) на малый угол

Если удлинение в поперечном направлении равно то укорачивается на а косая линия, такая, как становится

Рис. 59

Вычислим удлинение которое получит эта малая линия угол которой с осью х мы обозначаем через а.

Проектируя на линию получаем Проектируя на ту же линию, получаем Проектируя на ту же линию, получаем Итак,

Вычитая первоначальную длину и деля на находим для искомого удлинения формулу

которая не что иное, как выражение или (39) § 24, определенное для Эх и откуда

Написав его в виде

и продифференцировав по а, находим, что максимум имеет место, когда

и, следовательно, равен

Отсюда выводим формулу (285) для случая изотропии, когда приравнивая единице максимум его произведения на и заменяя во втором члене под корнем на отношение у, которое (выражение ему тогда равно.

Путем аналогичного рассуждения получаются формулы, относящиеся к случаям анизотропии, когда или равны нулю. Отсюда выводят более общую формулу (288), заменяя таким образом, чтобы она точно применялась в различных крайних случаях, и сохраняя ту же форму, которая должна ее делать приближенно применимой в промежуточных случаях.