ГЛАВА XIII. РЕЗЮМЕ ЭТОГО МЕМУАРА, КРАТКОЕ ПОВТОРЕНИЕ ФОРМУЛ И ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРАВИЛА, ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ

§ 135. Общее резюме

Можно подытожить то, что детально установлено в этом мемуаре:

1) Уравнения внутреннего равновесия упругих твердых тел, выведенные элементарно в главе II для любых величин перемещений (§§ 3—22), очень легко дают силы, когда известны перемещения (§§ 1, 23, 29). Но их нельзя интегрировать обычным способом для получения перемещений, когда эти силы известны (§§ 1,23,29,34 и т.д.). Эти уравнения могут дать, однако, много полезных результатов, если воспользоваться смешанным, или полуобратным, методом, который состоит (§§ 2, 23, 30, 32, 34—51) в том, что задаются частью сил (или соотношениями между ними) и одновременно частью перемещений и отыскивают посредством точных вычислений, каковы другие перемещения и другие силы.

2) Таким образом, отпадает сомнение относительно известного решения простой задачи о продольном растяжении призм с любым основанием силами, равномерно распределенными на двух основаниях (§§ 29, 30, 32). Мы равным образом проверяем, не прибегая к безосновательным и даже ложным гипотезам, обычную формулу для изгибающего момента призмы (§§ 36, 39—41), заменяя ее двучленной формулой (§ 42), когда плоскость изгиба должна

отличаться от плоскости действия изгибающих сил. Мы показываем, что эти формулы строго справедливы только для особого способа приложения сил, которые создают изгиб, и даем средство для оценки влияния сдвигов и кривизны сечений (§§ 40, 43), которые не учитываются этими формулами.

Мы проверяем тем же самым способом (§ 57) формулу Кулона в для крутящего момента прямого цилиндра с круговым сечением, показывая (§ 57), что она также требует, чтобы быть точной, особого способа распределения сил на основаниях и в их плоскостях.

Наконец, мы приходим главным образом для кручения призм с различными формами поперечных сечений ко многим другим еще неизвестным ранее результатам, которые являются точными и неоспоримыми в аналогичных условиях, относящихся к способу приложения сил к основаниям в их плоскостях.

3) Хотя силы, которые растягивают, изгибают или скручивают призмы, могли бы быть фактически приложены и распределены на концах не по этому способу, результаты всегда могут быть использованы с любой желаемой точностью. Опыт это показывает по отношению к уже известным формулам растяжения и изгиба любых призм и к формуле кручения кругового цилиндра. Это доказывает, что на очень малых расстояниях от точек приложения сил распределение усилий внутри твердого тела естественно устанавливается приблизительно желаемым способом и затем остается неизменным в других частях тела, так что это распределение быстро приближается к предельному состоянию, представленному нашими формулами. По той же причине можно принять новые формулы, основанные на тех же принципах, и применить их с той же уверенностью, с какой пользуются прежними формулами, относящимися либо к растяжению и изгибу, либо к кручению кругового цилиндра (§§ 2, 33, 41, 58).

4) Прежняя теория кручения призм основана на предположении, что сопротивление их волокон пропорционально расстоянию до оси или что их плоские ортогональные сечения остаются плоскими. Она дает, следовательно, для момента сил произведение коэффициента упругости при сдвиге на кручение и на полярный момент инерции

сечения и верна только для единственного случая, рассмотренного Кулоном, когда сечение является кругом (и притом упругость предполагается одинаковой во всех поперечных направлениях). Для всякой другой формы контура плоскость сечения превращается в искривленную поверхность. Если, например (§ 57), сечение эллиптическое, то плоскость становится гиперболическим параболоидом, так что сечение испытывает искривление, вызванное неравенством двух его размеров. Если сечение квадратное, то оно испытывает (§ 76) другого рода искривление, вызванное наличием выступающих частей и углов, поблизости от которых всякое сечение должно обязательно наклоняться так, чтобы оставаться нормальным к острым ребрам (§§ 68,115), превращающимся в спирали. Если это сечение прямоугольное, то оно испытывает одновременно искривление этих двух видов (§ 84), и его уравнение может выражаться только в виде ряда из показательных функций и синусов (§ 70).

5) Из наличия этой кривизны или искажения следует (§§ 57, 62, 71, 76, 88), что при данном кручении волокна или продольные элементы призмы наклоняются в среднем меньше к поверхностным элементам сечений или сдвигаются в среднем меньше друг по отношению к другу, чем в том случае, когда сечения остаются плоскими. Сопротивление или упругая реакция призмы кручению, следовательно, меньше, чем по прежней теории, распространенной на некруговые основания. Таким образом, выражение которое дает эта теория для момента реакции (здесь в — кручение на единицу длины, момент инерции сечения относительно его центра), слишком велико не только для прямоугольного сечения, как это выяснил Коши, но даже и для квадратного сечения.

В случае призмы с квадратным сечением нужно для получения правильного значения момента умножить выражение на 0,843 (§ 77). Если сечение прямоугольное, то нужно было бы его Множить на число, бесконечно уменьшающееся вместе с уменьшением отношения меньшей стороны к большей (§ 85 или заключительная таблица § 138), или нужно умножить на число между 0,843 и 1 формулу Коши, которая сводится к где

моменты инерции этого сечения относительно его двух медиан или осей фигуры. Коэффициент 1 подходит для случая тонких или плоских призм (§ 74), когда один из двух членов знаменателя пренебрежимо мал по сравнению с другим. Последняя формула является совершенно точной и не требует поправочного коэффициента для сечения в виде эллипса (§ 53).

Эти результаты для квадратных или прямоугольных сечений подтверждаются опытами Дюло и Савара (§§ 78, 86).

Они, разумеется, применимы только при очень малых значениях максимального наклона волокон к сечениям, так что даже в пределах постоянства структуры их нельзя применять в случае значительного наклона.

6) Имеется бесконечное множество оснований, кроме эллипса и прямоугольника, для которых можно точно и простым способом определить законы кручения призм. Можно даже выбрать по желанию среди частных интегралов некоторого уравнения выражение продольного перемещения и, определяющее искривление и сдвиги, и вывести непосредственно (§ 91) форму контура основания призмы, точки которой испытывали бы это перемещение при кручении.

Ограничиваясь основаниями, уравнения которых являются алгебраическими и конечными, и сначала теми из них, которые симметричны и одинаковы в двух взаимно-перпендикулярных направлениях, мы нашли следующие результаты.

Рассматривая уравнение четвертой степени, которому соответствует основание в виде квадрата со слегка вогнутыми криволинейными сторонами (образованными двумя гиперболами), установили, что составляет только (§ 101) а рассматривая уравнение восьмой степени, нашли, что если основание представляет звезду с четырьмя закругленными остриями, у которой два малых диаметра равны половине больших, то равняется только так что при одинаковом моменте инерции основания подобная призма оказывает вдвое меньшее сопротивление кручению, чем круговой цилиндр.

Малость этого результата объясняется, если принять во внимание, что четыре выступа деформируются и изгибаются

так, чтобы оставаться приблизительно перпендикулярными к волокнам. Отсюда следует, что не нужно полагаться на детали в виде ребер или нервюр в частях конструкций, испытывающих кручение.

Переходя к сечениям, несимметричным и не равным в двух направлениях, находим в числе других многочисленных выводов (§ 105, примечания) с помощью уравнения третьей степени, что если основание является равносторонним треугольником, то а посредством уравнения четвертой степени, если основание составляется из двух отдельных контуров, отдаленных друг от друга на четыре их диаметра, получаем т. е. произведения

Упругое сопротивление заданному кручению для различных сечений далеко не пропорционально их полярному моменту инерции. При одинаковом количестве материала или одинаковой площади со сечения оно приблизительно обратно пропорционально моменту и мы имеем обычно (от до Стало быть, при данном количестве материала круговое сечение имеет большее сопротивление.

7) Переходя от оценки реакции или упругого сопротивления данному кручению к отысканию сопротивления разрушению или разъединению волокон при кручении, выясняем, что точки, названные Понселе опасными (§ 25), т. е. точки, где всего более рискует проявиться разъединение, не являются точками, наиболее удаленными от оси кручения, как это получается по прежней теории, а наоборот, являются точками контура сечения, наиболее близкими к этой оси.

Следовательно, для эллиптического сечения (§ 61) опасные точки находятся на концах меньшей из двух осей фигуры.

Для прямоугольного сечения (§§ 82, 88) они находятся посредине двух больших сторон. Для криволинейного квадрата четвертой степени (§ 103) и для звезды восьмой степени (§ 104) они находятся на концах двух меньших диаметров, а для равностороннего треугольника — посредине сторон. Причина этого заключается в том, что сечения, изогнутые настолько, чтобы оставаться в общем перпендикулярными или почти перпендикулярными к наиболее удаленным от оси ребрам призмы, должны тем самым принимать наибольший наклон к наиболее близким ребрам. Ибо этот взаимный

наклон, приобретенный линиями к поверхности, первоначально расположенными под прямым углом, является мерой относительной опасности разъединения при сдвиге сечений друг по другу, а также волокон друг относительно друга.

Этот наибольший наклон волокна или ребра к искривленному сечению легко вычислить в каждом случае. Он обычно в 1,35-2 раза больше наклона в той же точке сечения, остающегося плоским. Следовательно, можно составить таблицу численных коэффициентов, которые нужно придать упрощенным выражениям, чтобы получить, не прибегая к рядам или другим сложным формулам, допускаемый предел для момента сил, создающих кручение, чтобы нигде не подвергать опасности целостность тела.

Это положение опасной точки ясно показано (§§ 62, 76, 88) посредством эпюр и рельефов. Оно подтверждается опытом, так как кручение нарушает целостность брусков железа или дерева, вызывая продольные трещины; если мы скручиваем прямоугольную или квадратную каучуковую призму, то видим, что прямые линии, проведенные в поперечном направлении на ее гранях, искривляются в виде буквы настолько, что остаются нормальными к четырем выступающим ребрам, и наклоняются к промежуточным ребрам настолько, что получают максимальный наклон к тем из них, которые проходят через середины больших сторон оснований.

По мере увеличения полярного момента сопротивление разрушению от кручения при одинаковом количестве материала или при одинаковой площади сечения уменьшается еще сильнее, чем упругое сопротивление заданному кручению.

8) Эти выводы совсем не зависят от отношения, которое может существовать между продольной и поперечной упругостями призмы (§ 50). Их можно распространить на случай, когда упругости при сдвиге неодинаковы, так же как и сцепления в различных поперечных направлениях; для

этого достаточно заменить в формулах упругого сопротивления (§§ 106—114) отношение двух главных размеров сечений отношением этих же размеров, деленных на корень квадратный из упругостей в соответственных направлениях, и ввести аналогичным способом два главных сцепления в формулы сопротивления разрыву (§§ 108, 113, 138). Отсюда вытекает, что когда поперечная упругость непостоянна, сечения круговых цилиндров искривляются при кручении подобно сечениям эллиптических цилиндров.

9) Законы кручения полых призм получаются по таким же формулам, что и законы кручения сплошных призм при условии (§§ 116—118), что уравнения внешнего контура сечения и внутреннего контура сечения или границы полости отличаются только значением постоянной.

10) Когда призма подвергается одновременно продольному растяжению, поперечному сдвигу, изгибу в двух перпендикулярных направлениях и кручению, то для получения полных перемещений в ее точках следует (§§ 119, 120) просто сложить вместе перемещения, которые имели бы место в том случае, когда она подвергалась бы только одному из этих четырех воздействий.

11) Чтобы получить тогда условие сопротивления ее материала этим одновременным действиям, нужно (§§ 24—27) полагать, что нигде и ни в каком направлении относительное удаление или приближение молекул не превышает некоторого предела, за которым имелась бы опасность близкого или последующего разрушения и который может изменяться вместе с направлением, если тело (к тому же однородное) не обладает одинаковым строением во всех направлениях.

Вытекающее отсюда аналитическое выражение (§ 121) для обычных случаев (§ 122) упрощается и может тогда доказываться непосредственно простым способом (§ 123). Отсюда выводим в числе других практических следствий, что для получения куба диаметра кругового цилиндра, способного одновременно сопротивляться изгибающему и скручивающему усилиям (как для вращающего вала машины, на который насажены два зубчатых колеса или два шкива для ременного привода), нужно (§§ 128, 129) взять три восьмых значения, которое мы дали бы этому кубу, если цилиндр испытывал бы только первое усилие, и прибавить к корню квадратному из суммы вторых степеней пяти восьмых того

же куба и значения, которое мы ему приписывали бы, если цилиндр испытывал второе усилие. Это дает результат, превосходящий иногда больше чем наполовину наиболее значительный из тех результатов, которые получаем, рассматривая усилие изгиба и усилие кручения, как проявляющиеся изолированно и последовательно. То же правило применяется для определения площади сечения болта или заклепки, подвергающихся одновременно растяжению и срезу. Оно применяется также для получения произведения ширины на квадрат толщины прямоугольной призмы, одновременно изгибаемой плашмя и скручиваемой (§ 131). Но в том случае, когда она подвергнута действию сил в положении на ребро или косо по отношению к ее боковым граням, это правило несколько изменяется, так как опасная точка может находиться в другом месте, а не посредине одной из сторон основания (§ 132). Отсюда выводим другие правила для коротких призм, подвергающихся разрушению одновременно от изгиба и сдвига без кручения (§ 126), выделяя случаи, когда сечение, наиболее подверженное опасности, не может изгибаться (§§ 125, 127).