§ 15. Тело с тремя плоскостями симметрии или главными плоскостями упругости

В теле, как и во всех его точках часто имеется плоскость (рис. 13), по отношению к которой характеристики упругости (см. предыдущий параграф) пределены симметрично.

Рис. 13

Если являются двумя системами взаимно-перпендикулярных осей, расположенными симметрично по отношению к этой плоскости, то шесть составляющих давления соответствующие первым осям, выражаются через удлинения и сдвиги в этих осях с теми же коэффициентами,

что и соответствующие вторым осям давления через удлинения и сдвиги

Можно легко определить, не прибегая к гипотезе о распределении молекул с обеих сторон этой плоскости, при каком условии это соответствие будет иметь место для всех пар симметричных по отношению к этой плоскости систем координат. Достаточно, чтобы оно наблюдалось для случаев, когда, например, ось взята перпендикулярно к плоскости удлинения же давления и сдвиги для всякого другого направления, связанного с выражаются с обеих сторон плоскости путем умножения на те же косинусы (формулы (5) § 6 и (14) § 11) давлений, удлинений и сдвигов, относящихся к случаю перпендикулярности к плоскости.

При этом особом положении оси ось сольется с и ось так что получим

а ось будет продолжением оси с другой стороны плоскости, что даст в силу определения тех же составляющих давления или скольжений соотношения:

и, следовательно, получим:

так как являются суммами равных действий и противодействий, взятых в обоих случаях с одинаковыми знаками.

Итак, чтобы уравнения давали бы выражения давлений через удлинения и сдвиги с теми же коэффициентами А, когда мы подставляем х, у, z вместо х, у, z, необходимо и достаточно, чтобы эти уравнения оставались прежними, когда мы просто изменяем знаки четырех величин или, что то же самое, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при равнялись нулю в формулах для а коэффициенты при равнялись бы нулю в выражениях

Эти формулы (15) для составляющих давления в точке приводятся, следовательно, когда плоскость симметрии проходит через эту точку перпендикулярно к оси х (нужно, чтобы эта плоскость весьма мало простиралась в окрестности рассматриваемой точки), к виду (17). Мы обозначили одними и теми же буквами коэффициенты, которые должны быть равными, если допустить сокращение 36 коэффициентов до 15 (см. предыдущий параграф), тогда

Если кроме плоскости симметрии, перпендикулярной к оси х, есть еще плоскость симметрии, перпендикулярная к оси у в той же точке, то эти уравнения должны будут по той же причине оставаться прежними при изменении значений для что приведет их к:

т. е. мы видим, что плоскость, перпендикулярная к z, будет тем самым также плоскостью симметрии или главной плоскостью упругости.