§ 66. Целое многочленное выражение. Его запись в полярных координатах и распространение на произвольные показатели степени
Для исследования законов кручения призм разнообразной формы 
необходимо будет рассмотреть некоторое число частных интегралов неопределенного уравнения, имеющих такой вид, который легко поддается вычислению. Итак, полагаем, как в § 52, и равным целому многочленному алгебраическому выражению, где будем считать сначала, что у и z входят только в целых и положительных степенях,
и подставим это выражение для и в 
Если мы приравниваем нулю в соответствии с методом неопределенных коэффициентов то, что содержит у и z в одинаковых степенях, то получим между этими коэффициентами ряд соотношений, которые позволят нам уменьшить их число. Поэтому искомое неопределенное многочленное выражение будет таково:
Его можно получить также, разлагая по степеням z, по теореме Тейлора 
произвольные функции 
входящие в выражение решения, которое представляет собой, как мы знаем, общий интеграл дифференциального уравнения 
и заменяя затем 
рядами, расположенными по целым степеням у, или же (что еще прсще) подставляя последовательно подобные ряды вместо 
в предыдущее выражение для 
и разлагая затем по биноминальной формуле степени выражения 
Численные коэффициенты членов в скобках в выражении (134) такие же, как при степенях бинома, взятых не подряд, а через две.
Мы лучше понимаем закон и часто в то же время даем более удобную и поддающуюся обобщению форму, когда пользуемся полярными координатами, т. е. полагаем (§ 46)
Отсюда
а заменяя функции 
разложениями по целым или дробным степеням 
получаем общее выражение вида
где 
постоянные коэффициенты.
Мнимые члены исчезают, если показатели степени одинаковы в обеих суммах 2 и если положить 
что дает 
Но мы можем сделать 
различными в двух членах в скобках, так как некоторое число коэффициентов а может равняться нулю. Таким образом, получаем следующее общее выражение:
где
Оно сводится тождественно к выражению (134) в частном случае, когда показателям 
дают только целые и положительные значения, заменяя кратные косинусы и синусы, такие, как 
известными разложениями, получаемыми при сравнении их с вещественной частью и коэффициентом при 
в мнимой части разложения 
Отсюда следует:
или замечая, что 
Подставляя эти результаты в выражение 
при 
получаем:
