§ 40. Неравномерный, или некруговой, изгиб

Как увидим в § 44, в более общем случае сечения не остаются ни плоскими, ни нормальными к волокнам. Наши последние исследования позволяют избавиться от имевшихся ранее сомнений. Мы доказали, что известные формулы § 36, хотя и полученные первоначально посредством теории, ошибочной по ряду пунктов, могли бы точно применяться в рассматриваемом случае, так же как и в частном случае равномерно или кругового, изгиба, если только силы, создающие изгиб, всегда приложены и распределены определенным образом на крайних основаниях.

Мы обозначаем через х первоначальную ось призмы, а через плоскость, по отношению к которой считаем призму симметричной. Силы действуют симметрично относительно этой плоскости, и она является плоскостью изгиба. Поместим начало координат в центре тяжести одного из крайних оснований призмы или части рассматриваемой призмы, причем считаем, что это основание остается после изгиба касательным к плоскости Зададим внешние силы (§ 2). Они, как в предыдущих параграфах, производят поперечные давления равные нулю на волокнах, а в сечениях продольные давления пропорциональные ординатам полный момент последних вместо того чтобы быть постоянным от одного конца призмы до другого, изменяется линейно вдоль х, так что при постоянных значениях он выражается формулой

откуда следует где момент инерции Отсюда получаем:

и далее (§§ 30 и 36)

Но две другие составляющие давления не будут равняться нулю, как в случае равномерного изгиба.

Составляющая должна даже быть такой, чтобы сумма воздействий в направлении части на часть призмы через сечение создавала бы равновесие внеш них сил, воздействующих на

Рис. 22

Эти внешние силы не сводятся больше к паре, так как их момент является переменным, но они имеют в направлении z равнодействующую на длине от начала координат А, если никакая сила, способная создать момент не действует в призме между ее концами. Таким образом, мы должны получить

Неопределенные дифференциальные уравнения и т. д., если в них подставить значения (77) величин сводятся к

Третье уравнение, которое сводится к или показывает (если учесть, что

является обратной величиной радиуса кривизны когда очень мало), что вследствие сделанных допущений (77) и (78) относительно давлений и перемещений имеем:

откуда как и при круговом изгибе (§ 36), который является, впрочем, только частным случаем рассматриваемого здесь изгиба; это соответствует а плечо рычага равно но их произведение конечная величина, равная тогда постоянно в пределах рассматриваемой части призмы, имеющей произвольную длину.

Необходимо найти значения которые удовлетворяют основным уравнениям, а также определенным уравнениям (35), относящимся к боковой поверхности призмы.

Ввиду того что два последних уравнения сводятся к соотношениям откуда Следовательно, первое уравнение, если обозначить через элемент криволинейного контура сводится к формуле

и, таким образом, давление на боковую поверхность, если оно там имеется, сводится к некоторого рода трению в направлении ребер.

Для устранения этого воздействия необходимо, чтобы в точках контура сечений соблюдалось условие (см. также § 48)

Чтобы удовлетворить сначала неопределенным уравнениям (80), так же как и уравнениям (77) или (78), выражающим заданные условия, и условию симметрии по отношению

к плоскости необходимо принять для выражения

где постоянно; функция, которая не изменяется при подстановке —у вместо у и такова, что

а

Действительно, только что написанные значения величин получаются непосредственно при интегрировании двух первых уравнений (78), если заметить, что симметрия требует, чтобы и оставалось таким же и чтобы изменялся знак, а не величина и, когда подставляют —у вместо у. Что касается значения то интегрирование третьего уравнения (78) дает выражение которое, будучи подставлено, так же как и значение и, в четвертое уравнение дает откуда / Таким образом третье уравнение дает откуда где постоянная, которая представляет собой сдвиг в начале координат. Что же касается трех условий, относящихся к произвольной функции добавленной к и, то первое следует из соображений симметрии, второе и третье вытекают из допущений, что центр и центральный элемент сечения со в начале координат неподвижны, и последнее — из первого неопределенного уравнения (80).

Эта функция так же как постоянная кроме того, должна быть такой, чтобы при подстановке в условие относящееся к контуру, оно

удовлетворялось бы, так как мы считаем, что боковые грани призмы между ее концами не испытывают никакого воздействия, ни поперечного, ни продольного. Тем самым уравнение (79) , как мы отметили, будет также удовлетворено.

Мы отошли бы от нашей темы, если привели бы здесь определение этой функции для различных форм сечения призмы. Мы ограничимся упоминанием, что эта функция существует для всех сечений. Таким образом, всегда имеются значения удовлетворяющие вышеуказанным уравнениям, следовательно, и выражения дающие способ приложения и распределения сил на основании В призмы, при котором точно получаются формулы изгиба (81). Это функция для эллиптического сечения, представленного уравнением такова:

Та же функция для прямоугольного сечения представляет собой весьма сложный тригонометрический ряд. Но мы можем составить примерное представление о ее значении, взяв в этом случае простое выражение (85) с только в четырех точках контура сечения соответствует условию (83) равенства нулю бокового давления и удовлетворяет также условию Отсюда следует, так как что

Давление, действующее на грани дается посредством значения для а давление на грани является значением при Равные нулю в точках посредине ширины этих граней, эти касательные давления малы во всяком другом месте, так как дроби никогда не превышают единицы, так же как и дробь при и когда, как обычно, измерение превышает 26. Наконец, дробь в случае изотропии имеет значение если допустить (§ 13), что или

Во всех других случаях эта дробь должна быть малой.

Такого рода малые продольные трения компенсируются настолько, что вовсе не отражаются на изгибающем моменте (вызванном всецело поперечной силой приложенной в крайнем сечении В, когда и должны, следовательно, очень мало влиять на величину перемещений. Практически можно допустить, что при их отсутствии внутри призмы точно представлено формулой (86) без члена (см. § 44 и гл. XII).