ГЛАВА IX. КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ С ДРУГИМИ ОСНОВАНИЯМИ, НЕ В ВИДЕ ЭЛЛИПСА ИЛИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
§ 90. Бесконечность числа видов уравнения контура сечения и выражений для продольного перемещения u
Существует бесконечное число видов контура сечений призм, отличных от прямоугольника или эллипса, для которых можно полностью и точно решить задачи кручения силами, создающими определенный полный момент, приложенными и распределенными надлежащим образом на крайних основаниях, и, следовательно решить приближенно те же задачи, когда силы приложены к концам каким-то образом в виде пар (§§ 2, 33, 41, 58, 73).
Представляется даже возможным путем ряда попыток приблизить эти контуры, насколько это желательно, к контурам сечений данной формы. Это позволило бы определить при необходимости с желаемым приближением сопротивление кручению призм с произвольными основаниями. В самом деле, напомним (начиная всегда со случая одинаковой упругости при сдвиге 
неопределенное дифференциальное уравнение (109) § 51:
удовлетворяющееся во всех точках призмы, и определенное уравнение (110) § 51:
или
удовлетворяющееся на контуре сечения.
Возьмем на выбор какой-нибудь один из бесконечного числа интегралов, либо трансцендентной (§§ 64, 65), либо алгебраической (§§ 66, 67) формы, которые удовлетворяют неопределенному уравнению (190). Пусть этот интеграл будет
Если его подставить вместо и в только что написанное определенное уравнение (191), то получим дифференциальное уравнение первого порядка для величин у и z, которое относится только к точкам контура. Будучи проинтегрировано, оно даст именно уравнение этого контура основания призмы, все точки которого будут испытывать продольные перемещения 
когда призма будет закручиваться на угол в на единицу длины.
Итак, интегрирование определенного уравнения первого порядка всегда возможно непосредственно без множителя, так как первый член является дифференциалом функции 
и выписывая 
вместе с двумя последними членами 
получаем, очевидно, известное 
условие интегрируемости 
если и таково, что 
Интеграл, или общее уравнение кривой контура, сечения будет
В нем член в скобках сводится сам собой к функции только переменной z, так как его дифференциал относительно у равен нулю, если и является такой функцией у, z, что 
Интегрирование будет выполняться чаще всего непосредственно для дифференциального уравнения (191), без использования общей формы интеграла (192).
