§ 57. Искривление сечения. Его влияние. Случай кругового сечения, когда искривление отсутствует

Выражение (113)

доказывает, что первоначально плоское сечение не остается плоским. Оно становится искривленной поверхностью

или гиперболическим параболоидом, вершина которого находится в центре. Коэффициент при можно рассматривать как определяющий степень искривления. Он, как мы видим, пропорционален углу кручения в и тем больше, чем более неодинаковы оси эллипса, однако он не превосходит величины .

Рис. 31

Ордината и, соответствующая оси, перпендикулярной к первоначальной плоскости сечения, отрицательна в области, где либо у и z положительны, либо у и z отрицательны, когда больше, чем с, причем кручение в этих двух областях имеет место (как мы это предположили) от у к z для наблюдателя, расположенного со стороны положительного направления оси х. И и положительно в двух других областях или четвертях эллипса, так что искривленное сечение представляет собой две выпуклости, изображенные в виде маленьких гиперболических сплошных кривых, (рис. 31), являющихся топографическими разрезами плоскостями, перпендикулярными к оси кручения, и две впадины, или углубления, изображенные посредством пунктирных разрезов (см. в § 62 изображения скрученной призмы).

Когда

т. е. когда сечение является кругом, имеем:

Искривление равно нулю, так что круговые плоские сечения остаются плоскими и перпендикулярными к оси, как мы это могли предвидеть, так как ни одно из них в этом случае не имеет причин изгибаться больше в одном месте, чем в другом. Главные сдвиги (§ 7) сводятся к наклонам, которые принимают параллельные к оси призмы волокна или нити молекул, первоначально прямые и параллельные этой оси, но ставшие спиралями с одинаковым шагом Наконец, крутящий момент (120) равен коэффициенту упругости при сдвиге, умноженному на полярный момент инерции о сечения и на угол кручения 0.

Этот вывод, который сделал Кулон, был распространен различными авторами на призмы или цилиндры с произвольными основаниями. Но формула Кулона является точной только в случае, для которого она дана, когда нет никакого искривления. Для всякого другого случая, кроме более общем случае для всякого другого сечения, кроме круга, она дает слишком большой момент. Таким образом, для эллипса, поскольку имеем:

мы действительно видим, что момент в всегда меньше, чем и что если очень мало по сравнению с или по сравнению с то получаем:

значение которого очень мало сравнительно с в по прежней теории, о которой мы упоминали и от которой нужно отказаться.

Это вытекает из того, что наклонение к искривленному сечению волокон, ставших винтообразными, в среднем гораздо меньше, чем наклонение к неискривленному сечению. Эти наклонения даже почти равны нулю у концов

большой оси эллипса, если она очень велика по отношению к малой оси как мы это увидим в § 61. Сопротивление кручению, вызванное этими наклонами, которые определяют главные сдвиги (§ 7), вследствие искривления, таким образом, действительно меньше, чем по прежней теории, где не принималось в расчет продольное неравномерное перемещение и.

Впрочем, выражение Кулона, относящееся к круговому цилиндру, как и наше выражение, относящееся к эллиптическому цилиндру, требует для точности, чтобы давления были приложены и распределены на крайних основаниях точно так же, как внутренние давления, или как величины (§§ 55, 56), так как, когда имеем:

что вытекает к тому же непосредственно из формы спирали, принимаемой волокнами, и из пропорциональности этих давлений сдвигам. Таким образом, нужно, чтобы эти силы, определяющие кручение кругового цилиндра, действовали во всех точках его оснований и были бы направлены по касательным к различным окружностям, которые можно концентрически расположить внутри контура, и имели бы величины, пропорциональные радиусам.