§ 18. Тело, в котором имеется ось упругости
Когда все условия, о которых мы только что говорили, выполнены, и притом одинаково относительно прямой 
в смысле сопротивлений заданным перемещениям, или когда (для большей точности) шесть формул, выражающих
составляющие давления через удлинения и сдвиги в направлениях осей х, у, z, сохраняют те же коэффициенты при превращении осей у, z в какие-либо две другие прямые 
перпендикулярные между собой и к оси х, тогда прямая х полностью соответствует тому, что можно назвать осью упругости.
Рис. 16
Для этого необходимо сначала, чтобы коэффициенты не изменялись, когда заменяют только оси z или у их продолжениями, т. е. плоскости 
должны быть двумя плоскостями симметрии (§ 15), или чтобы давления сводились к трехчленным или одночленным выражениям (18), а эти формулы, следовательно, оставались прежними при взаимной замене осей у и z, так что мы должны иметь
К этим равенствам следует добавить и другую зависимость
доказываемую весьма просто.
Пусть 
биссектриса угла 
(рис. 16); тогда 
где 
— тот же коэффициент, что и в формуле 
Тогда на основании формулы (8) при 
и общей формулы (14) имеем:
Итак, в соответствии с трехчленными выражениями
давлений (18), когда 
получаем 
следовательно, 
выражение, которое для приведения к 
требует справедливости соотношения 
В результате для случая, когда ось упругости параллельна х, имеем:
Легко установить, что все коэффициенты останутся прежними, каким бы ни был угол 
составленный новыми осями у, z с осями у, z.
Общая формула преобразования (14) § 11 дает:
или после подстановки выражений 
которые мы только что написали, получаем:
С другой стороны, формулы преобразования (5) нам уже дали (формулы (9) и (8) § 7):
откуда
Отсюда следуют формулы:
идентичные формулам (28), за исключением штрихов при 
