§ 84. Случай любого соотношения между двумя измерениями основания. Вычисление u при b/c=2. Границы случаев, когда искривленное сечение делится на четыре или на восемь частей

Когда стороны основания не равны (рис. 42), то выражения (156) для и в виде ряда показательных функций и синусов (которые всегда обращаются в нуль при или и изменяют знак, но не изменяют абсолютного значения вместе с у или показывают, что обе медианы также остаются в первоначальной плоскости сечения и что поверхность искривленного сечения составляется, как в случае эллипса, из четырех симметричных частей, двух в виде выпуклостей и двух в виде впадин.

Рис. 42

Но и не обращается в нуль при так что диагонали не остаются, как медианы, в плоскости, где находилось сечение до кручения. Это же показывает следующая таблица, относящаяся к случаю конечно, цифры получаются одинаковыми по обоим выражениям (156).

(см. скан)

Из разрезов, перпендикулярных к осям которые можно построить непосредственно по ординатам, пропорциональным числам в горизонтальных строках и вертикальных столбцах этой таблицы, находим путем графической интерполяции разрезы, перпендикулярные к оси х, проведенные через 0,04 величины (что соответствует значениям и, возрастающим на когда стороны основания равны соответственно 2 и 1 дециметру, и имеем, как в или шаг спиралей

Рис. 43

Тогда получаем рис. 43 (в масштабе и можем легко построить рельеф искривленной поверхности, в которую превращается первоначально плоское прямоугольное сечение (см. рис. 45, § 88).

Мы видим, что для каждая из четырех четвертей сечения после искривления представляет собой или полностью выпуклость или полностью впадину, тогда как при каждая из четырех четвертей имела частично выступ и частично углубление, а первоначальная плоскость разрезала сечение на восемь частей.

Чтобы узнать, какова величина отношения для которого еще имеется подобное деление на восемь частей,

необходимо разыскать значение с, для которого в точке В, соответствующей действительно, когда этот дифференциальный коэффициент становится положительным, образуется выступ между и А (рис. 39, § 76). Итак, прибавляя к имеем а взяв второе выражение (159) (как лучше сходящееся) и приравняв нулю при получаем уравнение

которое после численного решения дает

Итак, в зависимости от того, будет отношение измерений сечения больше или меньше чем 1,4513, сечение будет делиться его первоначальной плоскостью на четыре или на восемь частей.