§ 118. Полые призмы с другими основаниями

Для призм, имеющих сечения в виде алгебраических кривых, среди которых эллипс, квадрат и различные криволинейные многоугольники (выпуклые или звездчатые), прямолинейный равносторонний треугольник и т. д. являются частными случаями уравнение в полярных координатах имеет следующий вид (§ 91):

а выражение перемещения (если точки этих призм будут испытывать кручение в) в полярных координатах будет

Последнее выражение будет также удовлетворять определенному условию, относящемуся ко всем призмам, основания которых представлены уравнениями с той же левой частью, как и уравнение (275), но с другими какими-либо постоянными в правой части (§ 92). Это также очевидно, поскольку определенное уравнение содержит только дифференциалы, полученные из уравнения (275) контура основания, а постоянная в правой части уравнения исчезает при дифференцировании.

Итак, если мы имеем полую призму, внутреннее и наружное основания которой составлены из этих кривых с одинаковой левой частью уравнения, то перемещение и при ее кручении получит выражение (276), найденное для сплошной призмы, и мы сможем определить по формулам и правилам главы IX крутящий момент и условия ее сопротивления.

Кривые, отличающиеся только постоянной в правой части уравнений вида (275), являются геометрически подобными в единственном случае, когда эти уравнения имеют только члены второй степени, т. е. когда кривые являются эллипсами с центром в начале координат.

Рис. 58

Действительно, уравнения имеют во всех случаях член второй степени в у; если они содержат также член с другой степенью то одно из них не может быть сделано тождественным другому путем умножения во всех членах на одинаковое число и, следовательно, радиусы-векторы различных кривых, соответствующих тому же углу а, не могут быть в постоянном отношении.

Два примера подобных кривых изображены на рис. 58. Кривые, которые охватывают другие кривые, представлены уравнением четвертой степени а из первого примечания § 105 при Они характеризуются предельными положительными и отрицательными значениями

Для верхнего рисунка и для нижнего рисунка. Внутренние кривые имеют одинаковые уравнения, но с другими постоянными в правой части.

Наименьшие из кривых на верхнем рисунке стремятся превратиться в эллипсы, оси которых находятся между собой в отношении То же самое имело бы место для кривых нижнего рисунка, если было бы менее Но при наименьшие кривые на втором рисунке разделяются на два контура.

Если взять какую-либо одну из этих кривых для внутреннего основания полой призмы, у которой наружным основанием является одна из больших кривых, то крутящий момент будет дан в виде разности крутящих моментов двух сплошных призм с соответствующими основаниями и т. д.