§ 70. Решение этих уравнений
Поскольку нельзя удовлетворить их точно, как мы это делаем в случае эллипса с алгебраическим выражением, мы должны применить трансцендентный ряд (132) (§ 65) для случая симметрии относительно каждой из двух осей 
Чтобы второе определенное условие 
удовлетворялось для всех членов, необходимо, чтобы
или
где 
целое число большее нуля. Отсюда следует:
Остается определить ряд коэффициентов 
так, чтобы для 
получить 
т. е. чтобы
Обозначим для краткости
Величины 
должны быть такими, чтобы
каким бы ни было z в пределах 
Известно, что для этого необходимо придать этим величинам значения, выраженные формулой
Но поскольку мы хотим сделать элементарной нашу теорию кручения, найдем эти значения простым методом, который был применен Лагранжем (Lagrange) в задаче о колебаниях струн, а затем Эйлером и Фурье в других случаях, чтобы выразить какую-либо функцию в виде периодического ряда. Разложив уравнение (151) в ряд
умножаем все его члены на 
и интегрируем в пределах от 
до с. Поскольку имеем обычно
и
то находим:
если число 
отличается от 
Таким образом, умножение и интегрирование в пределах от 
до с уничтожают все члены правой части уравнения, за исключением 
члена, который будет
и мы действительно получаем для неизвестного коэффициента 
этого общего члена выражение (152)
Итак, чтобы вычислить определенный интеграл, входящий в выражение 
имеем:
Это выражение уничтожается на нижнем пределе 
и сводится к 
на верхнем пределе 
Следовательно, получаем:
или (уравнения (151)-(153))
Приравнивая найденное значение 
выражению (150), с которым оно совпадает, находим 
Подставляем его в выражение (149) для неизвестного и. Затем, прибавляя 
чтобы иметь 
получаем полный интеграл уравнения 
удовлетворяющий условиям 
для сторон 
для сторон 
прямоугольного сечения и, следовательно, всем необходимым условиям; в результате находим первое из двух следующих выражений:
Второе выражение получается, очевидно, если вместо 
и принять 
и (что превращает определенные уравнения 
вместо (132) воспользоваться выражением 
ту. Внешне весьма различные, эти два выражения, когда определяют численные частные значения, дают одинаковые результаты, так что они в действительности тождественны.
И, несмотря на их форму, каждое из них симметрично относительно у и z или сохраняет одинаковое значение, когда в них меняют у на z и одновременно 
на с и соответственно заменяют 
на 
.
Мы можем обозначить через 
гиперболические синусы и косинусы Гудермана, так что
Следовательно, эти выражения можно записать так:
