§ 42. Случай, когда плоскость действия изгибающих сил расположена косо по отношению к главным осям сечений. Определение плоскости действительного изгиба и кривизны. Условие сопротивления

Если плоскость действия сил не параллельна одной из главных осей инерции сечений, мы получим другие выражения.

Действительно, предположим, что до изгиба координатные оси которые мы считаем взаимно-перпендикулярными и проведенными в сечении через его центр тяжести, параллельны главным осям сечения. Обозначим: у — острый

угол составленный плоскостью действия сил с осью угол составляемый, следовательно, с неизвестной плоскостью в которой изгибается ось призмы, т. е. такой же угол, составленный осью с линией проведенной в сечении перпендикулярно к плоскости изгиба расстояние от этой линии до точки с поперечными координатами

Рис. 24

Для нормального давления в точке сечения получим (формула

Момент должен уравновешивать равнодействующий момент сил действующих на все элементы сечения Разложим его на два момента действующих в плоскостях, перпендикулярных к осям и составим уравнения равновесия для поворота относительно этих двух осей. Мы получим, полагая

и учитывая, что когда являются главными осями инерции:

Деля эти два уравнения почленно, получаем уравнение в другой форме; складывая квадраты уравнений, поделенные соответственно на имеем еще одно уравнение. Таким образом, находим:

Первое уравнение дает положение плоскости изгиба, а второе — радиус постоянной или переменной кривизны оси призмы.

Легко видеть, что если контур сечения является эллипсом или если при любой форме сечения мы нанесем на плоскости сечения эллипс, полуоси которого в направлениях у и z пропорциональны обратным величинам квадратных корней из моментов инерции сечения относительно тех же осей, то плоскость действительного изгиба будет перпендикулярна к касательным, проведенным к этому эллипсу в точках где он рассекается плоскостью действия сил так что линия нейтральных волокон является диаметром, сопряженным с

Призма изгибается, как мы видим, в плоскости, составляющей угол с плоскостью действия изгибающих сил, от которой она более или менее отходит, приближаясь к плоскости наиболее легкого изгиба, т. е. к плоскости если

Это отклонение плоскости изгиба является максимальным, когда плоскость действия сил проходит через одну

из диагоналей прямоугольника, описанного около эллипса; тогда линия нейтральных волокон, т. е. направление, относительно которого производится изгиб, будет не чем иным, как другой диагональю. То же самое имеет место, когда контур сечения является прямоугольником.

Условие прочности в этом общем случае косого изгиба (формула (47)) таково:

где расстояние от точек сечения до линии нейтральных волокон Так как (формула (91))

то это условие сводится к

которое переходит, когда сечение является прямоугольником со сторонами соответственно параллельными осям у и z, в условие, весьма отличное от условия, которое мы находим в различных трудах, где считают, что плоскость изгиба всегда является плоскостью действия сил:

когда сечение является эллипсом с полуосями то