§ 14. Принятые условия и уравнения нашей задачи о неравномерном изгибе призм

Итак, необходимо, как мы сказали в § 3, добиваться для оснований различной формы точных, а не предположительных решений задачи о перемещениях при изгибе, принимая в случае необходимости соответственно смыслу смешанного, или полуобратного, метода, о котором мы говорили в § 3, такие данные, чтобы то, что полностью или частично допущено без проверки в теории Мариотта и Кулона, действительно имело бы место, и изыскивая для этого нужные условия. Мы это сделали в уже цитированном мемуаре для чрезвычайно редкого случая равномерного, или кругового, изгиба, ограничившись указаниями для общего случая неравномерного изгиба, когда силы не сводятся к парам.

Чтобы исследовать этот последний случай, включающий и предыдущий, мы рассмотрим призму или какую-либо часть призмы (без учета ее веса), содержащуюся между двумя основаниями или двумя поперечными сечениями, и зададимся целью определить ее новое состояние равновесия после перемещения ее точек, принимая в качестве данных:

1) Часть перемещений или их соотношения, так как мы полагаем, что изгиб происходит в некоторой плоскости, и мы его характеризуем тем, что ось призмы, или прямая, соединяющая центры тяжести ее сечений, превращается в плоскую кривую и что удлинения ее волокон изменяются в поперечном направлении одинаковым образом с их взаимными расстояниями, определяемыми параллельно плоскости этой кривой.

2) Часть сил, так как мы полагаем, что те же волокна не оказывают друг на друга никакого давления в поперечном направлении или перпендикулярно к их длине, имея возможность воздействовать друг на друга в продольном направлении, что на боковых внешних гранях нет никаких сил, даже в продольном направлении; наконец, мы задаемся где-то произвольно равнодействующей и равнодействующим моментом внешних сил, относительно которых неизвестны только способы их приложения и распределения.

К этому мы добавим не по необходимости, а для упрощения и для того, чтобы не примешивать пока к изгибу такие посторонние элементы, как общее поступательное смещение и общий поворот, растяжение оси, кручение (элементы, которые могут быть добавлены позднее в соответствии с теоремой сложения § 6):

3) Один из двух концов оси призмы остается неподвижным, так же как материальная плоскость центрального элемента соответствующего основания, а равно и бесконечно узкая продольная полоса плоскости, в которой происходит изгиб оси.

Таким образом, мы должны сначала определить, соответствуют ли эти данные друг другу, а затем найти величину перемещений, между которыми задаются только некоторые соотношения, и выяснить, каковы неизвестные силы, которые производят изгиб.

Примем, как обычно, за х ось еще не изогнутой призмы, за начало координат — ее неподвижный конец и за плоскость изгиба этой оси. Назовем:

М - момент (в общем случае переменный, т. е. зависящий от х) внешних сил относительно параллелей к у, проходящих через центры сечений полную продольную составляющую этих сил полагаем равной нулю;

Когда взаимные расстояния между волокнами, спроектированными на плоскость изгиба отличаются от их ординат z, то первое принятое условие выражается посредством соотношения где - две постоянные величины для каждого сечения. Главное принятое условие относительно сил выражено посредством формул которые в соответствии с формулами § 8 изменения плоскостей достаточны для обращения в нуль всех нормальных усилий.

Предположим, что материал призмы имеет плоскости симметрии строения, перпендикулярные к ребрам или к оси, так что формулы (7) дают составляющие давления. Вторая, третья и четвертая формулы с нулем в левой части вместо

приводят, как в § 12, к

Подставляя вместо значение которое мы ему придаем, и формулируя уравнения равновесия относительно поступательного смещения в направлении х и поворота вокруг параллели к у, проведенной через центр сечения со части призмы, заключенной между этим сечением и концом ее, противоположным началу координат, получаем:

откуда, так как в силу свойства центра тяжести, имеем:

Таким образом, первое и второе принятые условия выражаются посредством формул:

которые при сводятся к выражениям:

к которым нужно добавить третье принятое условие, устанавливая неподвижность точки и двух плоских элементов:

Речь идет об определении значений удовлетворяющих одновременно неопределенным уравнениям равновесия

которые относятся ко всем точкам твердого тела и сводятся при учете (30) к

а также (но только для точек внешней поверхности) определенным уравнениям только на тех частях поверхности, где известны давления а именно на боковых гранях призмы, где они равны нулю.

Так как мы имеем для этих граней то второе и третье из уравнений (14) уже удовлетворяются при и только что написанное уравнение, ввиду того что где элемент дуги контура сводится к уравнению

которое справедливо только в точках контуров сечений, что также можно было установить прямо, либо посредством теоремы проекций плоскостей давления § 4, либо непосредственно, если учесть, что всем молекулярным действиям, пересекающим элемент поверхности соответствуют равные и параллельные действия, которые пересекают ту или другую из его проекций и которые могут их заменить.