§ 137. Числовые примеры

Первый пример. Только изгиб. Прямоугольный брус, подвергающийся воздействию сил в косом направлении к его боковым граням. Дубовый прямоугольный горизонтальный брус длиной и сечением 0,30 на защемлен одним концом так, что его боковые грани образуют углы 45° с горизонтом; на другом конце к нему приложен груз

Требуется определить: 1) предельное значение груза при котором его непрерывное действие не может ослабить материал и вызвать опасность разрушения через некоторое время; 2) величину и направление стрелы прогиба, т. е. поперечное перемещение оси бруска на конце, где действует сила.

Учитывая соотношение длины бруса к его двум другим измерениям, пренебрегают влиянием поперечного сдвига. Следует подставить в формулы для случая только изгиба значения и взять как это чаще всего делают. Тогда по формуле получим:

Отсюда предельное значение груза По

формуле (е) Плоскость кривизны оси бруса наклонена только на к плоскости, проходящей первоначально через эту ось и параллельную малым боковым граням призмы (наклоненной в свою очередь на 45° к горизонту).

По формуле стрела равна

или если равно предельному значению то

Второй пример. Только кручение. Цилиндр с эллиптическим основанием, с одинаковым строением в поперечном направлении. Чугунный цилиндр длиной с эллиптическим основанием, имеющим диаметры 0,20 и защемлен одним концом и подвергается на другом конце действию двух сил по каждая, составляющих пару и действующих одновременно на плечо рычага в Требуется определить: 1) кручение; 2) наибольший наклон волокна к элементу сечения предельное значение момента сил. Имеем:

Возьмем (Морен, стр. 442—443), от среднего значения усилий, которые произвели немедленное разрушение; там же, стр. 451).

По формуле получаем:

откуда

Затем из выражения а находим угол поворота конца цилиндра, испытывающего действие момента:

Формула дает

а из формулы имеем

так что можно при плече рычага в приложить силы, доходящие до каждая.

Третий пример. Только кручение. Прямоугольный брус с неодинаковым строением в поперечном направлении. Пусть прямоугольный еловый брус имеет сечение 0,16 на и длину

Требуется определить:

1) Какие силы, образующие пару и действующие посредством рычага в на один из концов, заставят его повернуться на два градуса относительно другого конца, который защемлен? 2) Каким будет тогда наибольший сдвиг? 3) Каково предельное значение этих сил?

Имеем:

Обычно берут для этого материала приблизительно Но полагают, что удельные сопротивления сильнее в направлении наименьшего размера и что сравнение результатов различных опытов, проделанных над образцами одинакового происхождения, взятыми в одинаковом положении по отношению к осям деревьев, из которых их изготовляют, заставляет принять

откуда следует:

Нижеследующая таблица § 138 дает посредством интерполяции между строками 1,60 и 1,70 или 1,75:

Итак, получим формулу

Если бы у нас не было под рукой таблицы значений коэффициента но мы помнили бы, что коэффициент который нужно подставить в формулу, найденную Коши, способен изменяться значительно меньше и равен приблизительно 0,85, то получили бы

что не отличается заметно от предыдущего значения. Итак,

. Силы, которые следует приложить к плечу рычага, составляют каждая.

По формуле находим сдвиг (посредине малой стороны в и сдвиг (посредине большой стороны Так как отношение этих двух сдвигов больше, чем отношение частных то опасная точка, для которой или может превысить или находится посредине большей стороны.

Но если даже не входить в рассмотрение сдвигов, то положение этой точки будет дано наименьшим из двух чисел, полученных по формулам дающим предел Тогда имеем: по первой формуле и по второй формуле

Отсюда действительно следует, что опасная точка находится посредине стороны и что нужно принять за предельное значение момента сил, которые создают кручение; это приводит к двум силам по каждая.

Четвертый пример. Растяжение и поперечный сдвиг. Болт или заклепка. Маленький железный болт (или заклепка) испытывает после затягивания гайки (или после установки заклепки в горячем состоянии) растяжение в На него в поперечном направлении действует сила стремящаяся его разрушить путем среза (например, вследствие растяжений, которые испытывают соединяемые им листы).

Требуется определить сечение болта (или заклепки).

Если допустить, что каждый квадратный миллиметр мог бы выдержать максимальное растяжение и усилие при срезе то следовало бы при одном лишь растяжении принять сечение а при одном только срезе — сечение

Итак, имеем по формуле

Болту (или заклепке) следует дать сечение

т. е. его диаметр равен

Пятый пример. Одновременные изгиб и кручение. Трансмиссионный вал в машине.

Пусть (рис. 62 § 129) на горизонтальный вращающийся цилиндрический чугунный вал длиной насажены на расстоянии от каждого конца две шестерни или два приводных шкива, весящих На вторую шестерню диаметром по касательной действует сила сопротивления первая шестерня большего диаметра, так что сила, которая там приложена также касательно для преодоления трения, составляет только Эти две силы действуют

в направлениях, составляющих с обеих сторон вертикальной плоскости, проходящей через ось, углы 45°.

Требуется определить диаметр вала, чтобы он сопротивлялся одновременному действию изгиба и кручения.

Нужно принять в формулах § 129, к которым нас отсылают формулы пункта К:

Пусть (радиус второго подшипника) (его коэффициент трения)

Для чугуна принимаем и придаем предварительно валу, толщина которого еще неизвестна, вес

По формуле (322) находим скручивающий момент

и получаем для равнодействующей сил, давящих на второй подшипник (по формуле, аналогичной формуле

Изгибающий момент имеет наибольшее из тех значений, которые получаются по формуле (321) при последовательной подстановке значений в выражения (320) составляющих моментов, которые туда входят. Так как этими двумя значениями являются то нужно взять второе. Итак, Следовательно, для куба радиуса вала получили бы:

1) если он только изгибается,

2) если он только скручивается,

Итак, кубу радиуса следует дать значение (формула

или

Вес вала с таким радиусом будет Замена этого числа числом 500 не повлияет в такой степени, чтобы потребовалось повторить вычисление.

Если для экономии материала мы пожелали бы изготовить вал равного сопротивления с переменным радиусом то формула дала бы вместе с формулами (321) и (322)

где расстояние от произвольного сечения до первого подшипника.