§ 7. Различные сдвиги относительно прямой или в различных направлениях относительно той же прямой. Главный сдвиг и т. д.

Если мы воспользуемся выражением взяв за направление направление самой оси х, а за направление направление линии составляющей с осью у угол в плоскости то, имея теперь найдем:

Это простое выражение можно получить непосредственно, если заметить, что превращаются в являются проекциями

единичного отрезка, направленного по и -проекцией того же отрезка на плоскость Тогда имеем:

Так как углы отличаются чрезвычайно мало от прямого угла, а угол очень мало от угла то, пренебрегая очень малыми величинами второго порядка, получим т. е. формулу (6).

Рис. 7

Это выражение позволяет сравнивать величины различных сдвигов, относящихся к одной и той же линии х и изменяющихся в зависимости от направления второй линии у, которая их определяет вместе с х (§ 4), или в зависимости от выбора плоскостей в которых имеют место эти сдвиги относительно оси х и параллельных ей линий, расположенных с разных сторон.

Наибольшим является то значение которое принимает величина при угле имеющем тангенс

Назовем главным сдвигом относительно направления х или относительно х наибольшее значение или проекцию на материальную плоскость (первоначально перпендикулярную к единицы длины, отложенной в направлении этой линии. Если мы обозначим его через то получим:

Другие сдвиги относительно направления не что иное, как проекции главного сдвига на различные направления у, перпендикулярные к х. Всегда имеется нулевой сдвиг, т. е. такой сдвиг, при котором у составляет прямой угол с

В соответствии со взаимностью сдвигов (§ 4) главный сдвиг в направлении х является также наибольшим из всех сдвигов, которые происходят относительно направлений, перпендикулярных к х и расположенных в плоскостях, проходящих через эту прямую.

Рис. 8

Если новая прямая, перпендикулярная к х и у (рис. 8), то выражение дает

максимум которого равен самому если

Выражение для удлинения по той же линии у, которую мы рассматривали, приводит к величине

имеющей максимум при равном половине прямого угла.

Если в таком случае положить так что в направлениях х, у, z будет только сдвиг то для удлинений и сдвигов по новым осям найдем:

равны нулю).

Мы видим, что всякий сдвиг между двумя взаимно-перпендикулярными прямыми у, z эквивалентен удлинению и сжатию, вдвое меньшим, чем относительно их биссектрис (рис. 9).

Мы могли бы, таким образом, заменить рассмотрение сдвигов рассмотрением положительных или отрицательных удлинений в направлениях, наклонных по отношению к

выбранным осям координат. Но сдвиги встречаются, разумеется, во всех формулах и их применение делает изложение значительно более простым и более элементарным.

Рис. 9