§ 30. Сечения произвольной формы

Мы только что узнали, что определение перемещений удовлетворяющих кинематическим условиям при изгибе, установленным в § 14, определение, приводящее при первом интегрировании (§ 16) к необходимости нахождения функции которое посредством зависимости (91), применимой при всякой форме сечения, само сводится к определению функции удовлетворяющей условиям: везде

можно произвести точно аналитическим способом для прямоугольных сечений, а также для сечений с криволинейным контуром чрезвычайно разнообразной формы (§§ 18, 19).

Это показывает, что для сечений совершенно произвольной формы точки призмы всегда могут иметь перемещения, удовлетворяющие тем же условиям, так как форма контуров может сильно влиять на трудность определения этих перемещений но не в такой степени, чтобы сделать это определение возможным или не возможным. Форма контура может осложнить аналитически последнее из условий (113), так как зависит от уравнения контура, но она не увеличивает числа условий, так как эти условия, выполняясь для некоторых сечений, должны по условиям равновесия выполняться и для всех других сечений. Это можно распространить на более общий случай уравнений (39) — (42). Они относятся к призме, имеющей только главные плоскости упругости, перпендикулярные к ее ребрам.

Это можно наглядно получить физическим сравнением. Разыскание функции удовлетворяющей условиям (113), о чем мы только что упоминали, не что иное, как определение постоянных температур точек призмы или одного из ее слоев с конечной или бесконечно малой длиной, если бы мы сделали оба основания непроницаемыми и пропустили постоянные потоки тепла через боковые грани, параллельные осям у и z в различных точках контура сечений. При этом потоки должны находиться между собой в соотношениях, которым последнее уравнение (113) подчиняет дифференциальные коэффициенты (представляющие, как известно, эти потоки). Одни из этих потоков входящие, другие выходящие; те "и другие равны друг другу не только в целом, но и одинаковых значений как у, так и если контур симметричный. Подобное состояние постоянства температур установится всегда, каким бы ни было их первоначальное распределение в призме.

Мы всегда могли бы получить его таким, чтобы при т. е. чтобы температура по термометру была бы нуль в центре сечения путем прибавления или вычитания одинакового числа градусов во всех точках, что не

помешает сохраниться прежнему состоянию, и мы могли бы располагать неопределенной величиной для того, чтобы при этом состоянии получить также в том же центре.

Итак, заметим, что для всякой призмы установлен такой способ приложения и распределения на ее двух основаниях сил, имеющих данную равнодействующую и равнодействующий момент, при котором продольные удлинения волокон изменяются линейно или одинаково с расстоянием при переходе в поперечном направлении от одного волокна к другому, поскольку, когда рассматривают различные точки каждого волокна, поперечные сжатия находятся в таких соотношениях с удлинениями, что волокна не давят друг на друга перпендикулярно к их длине.

Иначе говоря, нужно, чтобы обычные формулы точно давали удлинения волокон и давления на сечениях также в продольном направлении, как и кривизну, вызванную неравенством удлинений. Таким образом, их всегда можно будет применять, если только к ним присоединить (посредством других формул, примеры которых мы привели) то, что опускает обычная теория, но чем не всегда можно пренебрегать, а именно действия, вызываемые относительными сдвигами сечений или волокон, чтобы получить путем их сложения полную величину стрелы прогиба при изгибе (§§ 20 и 28), также как и наибольшие удлинения, которые имеют место в косом направлении и которые следует ограничить, чтобы гарантировать сцепление материала от всякого изменения, даже последующего (см. § 3 настоящего труда и гл. XII мемуара по кручению).

Эти способы приложения и распределения сил на основаниях призмы даны выражениями (49) § 17 для причем два последних для любого вида а к первому выражению добавляют постоянный член у, когда кроме поперечной силы имеется равномерно распределенное продольное растяжение от которого мы абстрагировались для упрощения в § 14 и которое заставляет нас только присоединить величину к удлинениям Рассуждая как в § 12 в силу общей теоремы (§ 6) сложения перемещений возникших под влиянием различных сил,

можно было бы легко изменить результаты и получить их для случая, когда боковые грани испытывали бы постоянное давление жидкости, действие которой не было бы вычислено заранее подобно действию атмосферного давления.