§ 18. Кривые контуров сечений, для которых произвольная функция F полностью определяется через у и z. Эллиптический контур и т. д.

Прежде чем определить вид для случая прямоугольного сечения (см. §§ 24, 25), мы решим обратную задачу, чтобы узнать, для каких форм контура сечения эта функция имеет более простое выражение, а именно:

где постоянные. Мы не включили ни постоянный член, ни член первой степени относительно z, так как и должны обращаться в нуль при

Находим, подставляя это выражение в неопределенное уравнение (46), что для того, чтобы оно было удовлетворено при любом значении у и z, между коэффициентами должны быть соотношения, уменьшающие их число, откуда

Подставляя в определенное условие мы получим уравнение относительно являющееся дифференциальным уравнением всех кривых контуров, для которых имеет целое выражение через у, z, так как это уравнение справедливо во всех точках контуров сечений.

Оно легко интегрируется в окончательном виде, когда сводят выражение к членам с достаточным для получения множества кривых различных степеней. Упрощая, берем в таком случае вместо единственно остающегося коэффициента В другой неопределенный коэффициент связанный с В соотношением

что приводит формулу (53) к виду

так что получаем, подставляя в определенное уравнение (48),

следующее дифференциальное уравнение различных контуров сечения:

Делаем его однородным, умножая на у и вводя обозначения

что позволяет разделить переменные, полагая

Вычисляя интегралы, переходя от логарифмов к числам, умножая на и обозначая постоянную через С, имеем:

Это уравнение при представляет собой эллипс. Если мы дадим С другие значения, кроме нуля, и приравняем, следовательно, произвольную постоянную различным величинам, то получим множество других кривых, симметричных относительно оси у. Они симметричны или несимметричны относительно оси z, смотря по тому, рассматриваем мы показатель степени как четный или как нечетный.

Его рассматривают как четный, каким бы ни было численное значение, целым или дробным, когда сохраняют знак если у становится отрицательным. Это можно сделать для всякого нечетного показателя, такого, как 1 или заменяя их числами у и, или лучше где целое бесконечно большое число. Тот же показатель степени рассматривается как нечетный, когда меняют знак цуку на знак у, что позволено даже со всяким четным показателем, таким, как 2 или у, представив вместо

и принимая корень только положительным или же заменяя этот показатель другим: от которого он отличается бесконечно мало. Если назовем:

с — полуось этих кривых в направлении z или -z;

b — их полуось в направлении так что при получается

то найдем для постоянной полагая значение

и для постоянной С, полагая значение, которое будучи подставлено в уравнение кривой (56), придает ему следующий вид:

Когда рассматривается как четное, необходимо и достаточно, чтобы кривая или часть кривой, разрезающая ось у в точках была бы замкнутой и способной, следовательно, служить контуром сечений призмы и чтобы имело вещественное значение, когда полагаем а, где а — очень малое положительное число. Поскольку

то это условие сводится к тому, что (если

положительно)

Допустим, например, что откуда т.е. может быть любым числом, заключенным между и 1, или может быть всяким положительным числом, большим тогда уравнение (59) записывается в формулах:

(см. скан)

На рис. 4 изображена четвертая часть кривых, представленных этими уравнениями (61) при двух предположениях: Смешанная линия, которая [их охватывает, соответствует или показателю

Рис. 4

Она состоит для значений из частей двух ветвей гиперболы, имеющей уравнение

и для значений из двух прямых так как z становится неопределенным при Этот смешанный контур близок к непрерывной кривой, получаемой при или любому другому очень большому четному числу.

Когда полагаем или уравнение (59) содержит два бесконечных члена, разность которых в виде конечной величины легко получить, подставляя сначала

вместо дробь 2/3, сложенную с бесконечно малой величиной, что дает трансцендентное уравнение

представляющее собой кривую, слегка отличную от кривой

Следовательно, эллипс получается не в том случае, когда полагаем показатель а когда придаем, как мы сказали, следующее значение, уничтожающее коэффициент при

Каждый эллипс, соответствующий определенному отношению у осей, является одной из кривых, оси которых находятся между собой во всех возможных отношениях — при одинаковом показателе лежащих в пределах (или для между ).

Таким образом, эллипс , т. е. окружность, является частным случаем кривых, для которых имеем:

Эллипс представляет собой частный случай кривых, где Также имеется, как мы увидим (§ 22), несколько общих свойств в каждом эллиптическом сечении в ряде других кривых, для которых имеет то же значение.

Кривые ряда ложных эллипсов (овалов) где показатель или в общем случае равен ,

являются единственными, которые можно было бы вывести друг из друга, увеличивая или уменьшая в одинаковом отношении абсциссы у, но не изменяя ординат

Мы найдем свойство, заслуживающее особого внимания, также (§ 23) в кривых с показателем и в более общем случае , трактуемом как четный.

Когда показатель трактуется как нечетный, так что тстановится отрицательным одновременно с у, то кривые уже несимметричны относительно оси Для того чтобы они были замкнутыми, необходимо, чтобы условие (60) всегда удовлетворялось. Но, кроме того, должно быть положительным, так как мы получаем для этого частного по существу положительное значение, полагая в уравнении (59) кривой какой-либо отрицательной величине Итак, для и показателя следует иметь границы более узкие, чем указанные в формуле (60), а именно:

т. е. между 2 и 4, когда Это условие необходимое, но еще недостаточное; нужно также, чтобы отношениеу оставалось в некоторых границах, которые зависят от значения, придаваемого Его верхней границей является значение, при котором уравнение (59) с имеет два корня так как в этом случае получаются две ветви кривой, пересекающиеся в точке и эта кратная точка становится вершиной замкнутой кривой, когда у придают меньшее значение. Считая, что удовлетворяет не только уравнению (59) при но также и его

производной по , получаем для верхней границы выражение

Нижняя граница того же отношения у соответствует обычно верхней границе у. Она получается, если записать, что то же уравнение (59) с и с измененным знаком первого члена имеет два одинаковых корня или что производная его левой части обращается в нуль для того же неизвестного значения как и непродифференцированная левая часть, что дает два уравнения, из которых легко исключить у. Отсюда получаем условие

служащее для определения путем численного подбора значения , которое является нижним пределом для каждого значения или показателя

Например, для или находим и для тех же границ у. Четыре следующих уравнения:

представляют собой овалы, один из концов которых тоще другого. Малый конец заостряется для первого и последнего уравнений.

Ось z проходит всегда только через центр тяжести сечений, ограниченных этими несимметричными контурами. Но это безразлично, ибо поскольку все волокна остаются в плоскостях, все ранее указанное также правильно, если мы возьмем за ось х какое-либо из волокон, которые не будут изменяться по длине.