§ 19. Способ приложения и распределения внешних сил, уточняющий для различных контуров обычные формулы изгиба, вызванного продольными удлинениями. Значения величины центрального наклона. Сечения эллиптические, круговые, в виде ложного эллипса и т. д.

Мы видим, что для призм с сечениями чрезвычайно разнообразной формы, контур которой представлен уравнением (59), задача §§ 3 и 14 получает полное решение, т. е. точки этих призм испытывают перемещения, удовлетворяющие условиям 1, 2, 3 § 14 или уравнениям (29), (30), которые точно приводят к обычным формулам для изгиба (36) или, лучше сказать, для части изгиба, происходящей только вследствие продольных удлинений. При кривизне оси, одинаковой или не одинаковой от одного до другого конца

призмы, если боковые грани не испытывают никакого воздействия, на крайние основания действуют силы, определенные выражениями (49). Эти выражения при подстановке вместо и двучлена третьей степени (54) вместо становятся такими:

Когда второе крайнее основание соответствует нормальная составляющая равна нулю во всех его точках и, таким образом, силы, которые производят изгиб, являются только касательными, а их равнодействующая распределяется соответственно параболоидальным законам. Например:

1) Для т. е. для ложного эллипса обозначенного цифрой 4 на рис. 67 § 18, где отношение осей может быть произвольным, получим:

откуда (68)

Момент инерции и площадь - могут быть получены посредством эллиптического интеграла первого рода, если положить

Тогда их выражения принимают вид

Эти два интеграла, рассматриваемых как неопределенные, сводятся соответственно к

но вторые члены исчезают на пределах, поэтому, обозначая по Лежандру через и замечая, что значение этой величины равно 1,854074677301 (конец его таблицы II), получаем:

Соотношение которое является точным, можно получить из выражения (68) для принимая в расчет

То же самое соотношение для всех кривых (59) при всяком значении и при обозначении момента инерции через дает

что является общим свойством всех этих кривых.

2) Для или раз мы его представляем как четное (см. предыдущий параграф), что дает кривые,приближающиеся обычно к прямоугольнику со срезанными углами, принимая получаем:

Посредством квадратур находим, что

3) Для или для контура в виде смешанного четырехсторонника (см. предыдущий параграф), который охватывает другие фигуры с четным показателем, получаем:

касательные усилия в направлении у равны нулю.

4) Для эллиптического контура, который представляет собой более сложный случай, потому что, как мы видели, его нельзя задать посредством значения не зависящего от отношения осей нужно взять для значение (62), что, принимая во внимание формулы

(см. скан)

Значение действительно дает так как что служит проверкой; таким образом, получаем

5) Для кругового контура в случае структуры материала, полагаемой одинаковой в двух поперечных направлениях, получаем откуда (выражения

(см. скан)

Мы нашли бы то же самое выражение для всех сечений, представленных посредством т.е. (см. предыдущий параграф) для всех контуров, определенных значением показателя рассматриваемого как четный, среди которых есть окружность, соответствующая отношению осей

6) Если то еще получаем:

Сравнивая эти значения для различных контуров, мы видим, что наклон оси к сечениям точно или почти точно равен у наклона, который был бы, если сечение, наклоняясь, оставалось бы плоским или если было бы постоянным во всех точках, так что мы имели бы (уравнение