§ 7. Продолжение. Число существенно различных коэффициентов. Его сокращение с тридцати шести до пятнадцати

Чтобы узнать относительные величины тридцати шести коэффициентов, на которые умножают эти шесть величин в формулах для шести составляющих рассмотрим сначала простой случай, когда равны нулю, а постоянны. Таким образом, материальные плоскости во всяком теле, перпендикулярные к оси у, смещаются по отношению друг к другу на одинаковую относительную величину от их первоначальных расстояний и все одновременно повернуты на малый постоянный угол вокруг линий, параллельных по которым они разрезают плоскость перпендикулярную Линия соединяющая две какие-либо моле кулыт, (рис. I) и имеющая, как мы полагаем, до перемещений проекции х, у, z, параллельные одноименным координатным осям, будет иметь после перемещений те же проекции проекция же у на ось у увеличится на из-за смещений, пропорциональных и на из-за поворотов

Рис. 1

что увеличит это расстояние между двумя молекулами при проектировании на линию до

Отсюда вытекает выражение взаимодействия у двух молекул при перемещениях; здесь является функцией Если эти молекулы находятся в числе тех, что расположены с обеих сторон плоской грани, перпендикулярной к х и имеющей очень малую площадь А, то получим составляющие Архх, давления, которое передается через эту малую грань, взяв суммы всех этих действий, последовательно разложенных в направлениях х и у или умноженных на косинусы углов линии с осями которые равны у, у, с точностью до очень малых произведений второго порядка, которыми можно пренебречь.

Из этого следует:

Отсюда видно, что коэффициент при равен коэффициенту при То же равенство будет иметь место, если не равны нулю в силу принципа сложения давлений, вызванных различными составляющими перемещениями (см. предыдущий параграф).

Это равенство будет иметь место также в случае, если вместо того, чтобы быть постоянными во всем твердом теле, окажутся переменными, так как всегда полагают, что они изменяются весьма немного в малых частях этого тела, где на незначительных расстояниях проявляются взаимодействия, вызывающие давления.

Отсюда делаем вывод, попросту изменяя буквы и направления, что коэффициент при будет таким же, как и коэффициент при эх в следовательно, коэффициент при эх является таким же, что и коэффициент при потому что, как мы знаем, одинаков с и должен иметь такие же коэффициенты.

Изменяя направления и ссылаясь на то, что можно установить и другие равенства.

Если обозначить различные коэффициенты одинаковой буквой а с двумя индексами, принадлежащими составляющей давления, и следующими за ними индексами соответствующих удлинений или сдвигов, удваивая для симметрии индексы при удлинениях и написав

то можно заключить, что коэффициенты с четырьмя одинаковыми индексами будут равны при любом порядке их расположения, что сокращает число коэффициентов в этих формулах с тридцати шести до пятнадцати.

Если в этом доказательстве мы пренебрегли влиянием первоначальных молекулярных действий, приписывая давления только новым воздействиям, возникающим при перемещениях, то сделали это с целью упрощения и для того, чтобы ясно видеть, что эти первоначальные действия исчезают, когда первоначальные давления считают равными нулю.

Вышеизложенное предполагает, между прочим, что перемещения изменяются непрерывно от одной молекулы к другой или, иначе говоря, что в силу большого разнообразия и сложности размещения молекул и наличия их действий в различных направлениях мы могли бы заменить индивидуальные перемещения молекул средними перемещениями их групп, которые должны изменяться более упорядоченно или менее сложно, имея в виду компенсацию отклонений в различных направлениях. Возможность этой замены вообще признается и не вызывает сомнений для тел с беспорядочной кристаллизацией, которыми единственно пользуются как материалами.

Но эта замена, как заметил Коши, является до известной степени спорной для тел правильно кристаллизованных, все одинаковые малые группы атомов которых поворачивались бы одинаково по отношению к самим себе при общей деформации тела и создавали бы некоторую согласованную периодичность, которая противодействовала бы точной компенсации отклонений в разные стороны. Мы не думаем, что это обстоятельство, если оно имеет место, оказывает заметное влияние. Хотя оно относится только к телам, которыми мы не будем заниматься в этом мемуаре, однако, так как сомнения в равенстве коэффициента при коэффициенту при еще не у всех рассеялись, то мы будем сохранять чаще всего независимость тридцати шести коэффициентов, что, как заметил Ламе, не делает обычно более сложным аналитическое решение задачи.