§ 117. Полая прямоугольная призма

Это последнее замечание применимо к прямоугольным призмам, в которых находились бы полости в виде других подобных или не подобных прямоугольных призм. Выражения (158) и (252), данные в §§ 71 и 110 для сдвига в случае одинаковой или неодинаковой упругости, обращаются в нуль, каким бы ни был z, только при а выражения (159) и обращаются в нуль, каким бы ни был у, только при

Таким образом, кручение всякой прямоугольной призмы с полостью в виде второй прямоугольной призмы дало бы другие выражения кроме тех, которые мы получили для и и, следовательно, для крутящего момента и условий сопротивления, а эти выражения неизвестны.

Но мы можем в прямоугольной призме сделать полость в виде призмы с непрямоугольным основанием, таким, чтобы выражение для перемещения и всегда было бы выражением (251), полученным в § 110.

Действительно, если подставить вместо и в общее определенное уравнение (239) § 106

выражение (251), относящееся к прямоугольной призме и имеющее форму

где

и

то найдем:

Интегрируя, деля на в и снова подставляя вместо их значения (272), получаем следующее уравнение, в котором является произвольной постоянной:

Оно представляет прямоугольный контур, если постоянная К равна нулю, так как удовлетворяется при любом значении у и при Но если мы дадим К ряд конечных и положительных значений, то уравнение будет представлять в плоскости ряд кривых. Легко видеть, что на них не достигает значения Эти кривые, будучи приняты за границы основания призм, образующих полость в прямоугольной призме, приведут к полым призмам, для которых и получит значение (251), так что мы сможем по формулам и с помощью методов предыдущих глав вычислить крутящий момент и условия сопротивления.

Кривые, которые представляет это трансцендентное уравнение (274), к сожалению, слишком громоздки, так как для заданного численного значения у нужно искать соответствующее значение z посредством длительного подбора. Но для малых значений постоянной К они будут мало отличаться от прямоугольника, так что, если мы имеем полую призму с малой толщиной (квадрат или прямоугольник как изнутри, так и снаружи), то к ней применимы с известным приближением все формулы гл. VIII и X,

Внутренние призмы или цилиндры с основаниями в виде этих концентрических кривых, для точек которых определенное уравнение полностью удовлетворяется, как и на поверхности, могут рассматриваться как имеющие некоторую аналогию с изотермическими поверхностями Ламе.