§ 122. Более частные и более простые условия

В некоторых случаях, наиболее часто встречающихся на практике, уравнение сводится ко второй степени и метод может быть значительно упрощен:

1) Когда материал имеет в каждой точке ось упругости или симметрии строения (§ 18), параллельную х, что влечет за собой равенство удлинений во всех перпендикулярных направлениях, если твердое тело призматическое и подвергается на его боковых гранях только нулевому или нормальному и постоянному давлению или если в более общем виде имеем, каким бы ни было это тело, что

то общее уравнение (280) (если написать вместо и полагать при этом, что главный сдвиг (§ 7) сводится к

Отсюда

Поскольку продольные удлинения продолговатых тел, которые чаще всего рассматривают, сопровождаются малыми поперечными сжатиями, то полагаем (§§ 24, 26, 27, 30)

Мы получим для условия прочности выражение

Сохраняем только верхний знак корня, чтобы оно сводилось, когда сдвиг равен нулю, к а не к величине которая всегда предполагается меньшей.

2) Если материал согласно допущению всегда однородный, без оси симметрии и если, кроме того, то мы

имеем несомненно или или опасной точке; это случается, например, когда тело является прямоугольной призмой, боковые грани которой испытывают только давление жидкости, и если часть сдвигов вызванных другими причинами, но не кручением, или пренебрежимо мала, или распределена равномерно по наиболее подверженному опасности сечению (см. § 125), так что опасная точка обязательно находится на его контуре; тогда для этой точки имеем:

если она находится на стороне, где

если она находится на стороне, где

Отсюда получаем условия сопротивления такого же вида, что и уравнение (285), относящееся к случаю оси упругости или симметрии, параллельной х. Опасная точка будет в действительности на стороне, где найдем наибольшее значение для при заданных размерах сечения.

3) Если, наконец, всегда равно нулю, и не равны, но мало отличаются друг от друга и если ограничиться приближенным решением, то, обозначая через некоторое среднее между двумя этими отношениями, можно заменить в общем уравнением (280) произведение квадратом величины разделить все его члены на этот двучлен, что приведет (если пренебречь алгебраической суммой произведений величин на две очень малые величины с противоположным знаком, на которые частные от деления на превышают единицу) к следующему виду:

Отсюда можно получить еще отношение и условие прочности.

Все уравнения, относящиеся к различным случаям, содержатся в общей форме

где берем

т. е. в форме, которую мы получаем из (287) для третьего случая, заменяя 8 и у на Будучи в последнем случае только приближенным, это условие прочности является точным для других случаев, так как, если то оно сводится к уравнению (285), а если или обращается в нуль, — то к одному из уравнений, которые мы получили бы из (286). Наконец, если положить либо равным нулю, либо то оно снова приводится к простому уравнению или к уравнению (52), приведенным в главе II.

Что касается данных значений для постоянных, то напомним, что, если — 12 коэффициентов формул давлений (18) § 15, а боковые грани согласно допущению при этом испытывают только атмосферное давление, которое не принимают в расчет, то получаем (§§ 30, 24, 27, формулы (45), выражения:

которые при наличии изотропии становятся такими:

откуда

И если допустить, что (§§ 13, 19) то

Это отношение у между представляется существующим до непосредственного разрушения и, следовательно, по ту сторону предела применимости формул теории упругости, так как в соответствии с опытами Гуэна (Gouin) на квадратный сантиметр требуется усилие чтобы разрушить при поперечном сдвиге или срезе стержни, которые разрушались при растяжении нагрузкой

Что касается величин они не должны будут значительно отличаться от с и в, если, как мы сказали в § 25, отношения мало отличаются друг от друга, несмотря на значительное различие, которое может иметь место между или и между или В соответствии с тем, что увидим в § 128, мы никогда не совершим заметную ошибку в выводах, если примем