§ 96. Кривые восьмой степени, симметричные и одинаковые в двух направлениях

В § 101 мы получили полезные выводы из рассмотрения двух кривых с вогнутыми сторонами и пришли к уравнению четвертой степени. И можно было бы получить другие уравнения кривых с выпуклыми сторонами, если нам пришлось рассчитывать кручение призм, основания которых

имели бы промежуточные формы между кругом и квадратом.

Но поскольку главной целью наших исследований призм с переменной формой было определение законов кручения деталей с лопастями или выступающими сторонами, представляющих четырехконечную звезду, какие часто применяют в чугунных конструкциях, то мы попытались узнать, даст ли уравнение (206), приведенное к восьмой степени:

замкнутые кривые, у которых наибольшие радиусы были бы более выступающими или полумедианы при меньшими, чем у кривых четвертой степени.

Мы детально рассмотрели это уравнение, и ниже приведем некоторые результаты.

Уравнение (215) не решается алгебраически относительно z или у, но, взяв его во второй форме, можно подставить

и решить его относительно . Следовательно, получим полярный угол как функцию радиуса-вектора, что достаточно для проведения кривой по точкам. Но удобнее, имея , определить координаты у и z, так как получаем:

откуда, поскольку имеем:

отсюда можно получить значение следовательно, значение Таким образом, получаем для значений

соответствующих каждому заданному значению

и

Это позволяет вычислить сколь угодно много значений у и z, задаваясь произвольными значениями

Рис. 48

Можно всегда выбрать один из двух параметров а, а так, чтобы радиус-вектор (рис. 48) при угле 45° имел бы определенное значение, так как из уравнения, которое следует из выражения (215) при

выводим

и, задаваясь а, получаем а. Например,