§ 13. Применение общих формул Пуассоном и Коши для приближенного решения задачи изгиба

Два знаменитых математика нашли в одном и том же году (1828), один для кругового цилиндра, другой для прямоугольной призмы, что известное выражение (2) для изгибающего момента общей теории

может рассматриваться как почти точное, «когда поперечные размеры очень малы», полагая, «что давления и удлинения в различных точках каждого сечения могут быть выражены в виде сходящихся рядов, расположенных соответственно по целым и положительным степеням поперечных координат», и отбрасывая в конце выкладок члены с высшими степенями.

Далее вкратце излагается их анализ, причем он распространяется на случай, когда вещество не является изотропным и имеет плоскости симметрии или упругости, перпендикулярные к ребрам призмы.

Примем х за ось призмы. Выразим для какого-либо из ее поперечных сечений со нормальную составляющую

давления посредством нижеследующего ряда и предположим, что коэффициенты зависящие от х, имеют такие величины, что ряд обладает весьма быстрой сходимостью даже для самых больших значений поперечных координат у, z, так что каждый член очень мал по сравнению с членом, имеющим степень на две единицы меньше:

Так как равен нулю для всякого сечения, симметричного относительно осей у и z, когда один из двух показателей степени или нечетный, то для изгибающего момента или момента упругих сил относительно оси, проходящей через центр сечения со параллельно оси у, получим выражение

первый член которого значительно больше последующих.

Итак, обозначая, как обычно, в скобках с индексом нуль значение содержащейся в них величины при имеем:

исключая из трех первых уравнений для случая наличия единственной плоскости упругости, а также обозначая через функции их коэффициентов, аналогичные функциям предыдущего параграфа, получаем:

откуда

Но второе и третье уравнения равновесия после замены их значениями (7), их значениями (13) и исключения величины для получения дают

где первый член правой части уравнения не что иное, как кривизна линии, у которой абсцисса, очень малая ордината, так что если положить то получим:

здесь в — радиус кривизны оси призмы, если, как мы полагаем, она изогнута в плоскости Подставляя в (22) значение производной которое вытекает из (23), и затем внося значение в (19), получаем выражение изгибающего момента:

Итак, если рассматривать выраженные посредством разложений, подобных разложению (18) для то легко видеть, что в соответствии с условием равенства нулю давлений на боковых гранях призмы эти три составляющие будут всюду (внутри) иметь второй или четвертый порядок степени относительно и частных значений этих координат на поверхности.

В самом деле, если ограничиться прямоугольным сечением со сторонами и обозначить через В (вместо А

в коэффициенты разложения то условие при и любых z даст бесконечную последовательность уравнений:

откуда выводим, выражая коэффициенты через коэффициенты при членах высших степеней и подставляя в разложение что является, по крайней мере, функцией второй степени от То же самое получаем для как функции Что касается которое должно обращаться в нуль на четырех гранях то найдем, что оно имеет четвертую степень относительно тех же координат или поперечных размеров, которые мы полагаем очень малыми. Подставляя в выражение (24) момента разложения, найденные для или проще подставляя вместо значения полученные непосредственно из второго и третьего уравнений (25), и значения, полученные подобным же способом для производных увидим, что всякий член в выражении (24), за исключением первого, по крайней мере, четвертой степени и, следовательно, им можно пренебречь. Отсюда приближенно получим

Этот анализ в предположении, что мы оспариваем возможность разложения в сходящиеся целые ряды по у, z, может всегда рассматриваться как доказывающий формулу (26) с несколько большим приближением и

меньшими допущениями, чем обычная теория, так как последняя сводится прежде всего к предположению, что повсюду равны нулю, а находится в линейной зависимости от тогда как в предыдущем анализе просто предполагается, что эти составляющие давления могут быть выражены посредством подобных рядов, и в конечном счете все сводится только к ликвидации всех членов, начиная с третьей, пятой и других нечетных степеней, при сохранении прочих. Это дает всегда определенную свободу действий, чтобы представить, по крайней мере, эмпирически еще неизвестный закон изменения основных величин. Следует также заметить, что тот же анализ, опирающийся на два точных уравнения внутреннего равновесия (12) при допущении, что поперечные действия волокон должны быть повсюду очень малы, доказывает то, что обычная теория предполагает, а именно то, что удлинение можно выразить посредством выражения постоянная величина), если изгиб производится в плоскости, параллельной оси z. Действительно, поскольку эти уравнения приближенно сводятся к

то из первого получаем:

Последняя величина является в достаточной мере постоянной и равной — во всех точках того же сечения ввиду малости его высоты по сравнению с радиусом кривизны призмы в этом месте. Отсюда, интегрируя, получаем:

и, следовательно (по той же причине приближенного равенства нулю

т. е. мы имеем все формулы обычной теории (§ 2).