§ 94. Симметричные и равные замкнутые кривые четвертой степени

Посмотрим, какие замкнутые кривые могут представляться уравнением (206), сведенным к выражению

где нам необходимо будет дать, как мы уже сказали, только

положительные значения для а, чтобы охватить все частные случаи.

Обозначим через полумедиану или радиус-вектор, образующий угол 45° с осью у, т. е. положим

Тогда получим:

Для того чтобы кривая была замкнутой, нужно, чтобы имело действительное значение, т. е.

Но достаточно придать а значение даже меньшее чтобы получить все желаемые замкнутые кривые.

Действительно, когда мы полагаем или то полярное уравнение (211), превратившееся в , можно записать в следующем виде:

Таким образом, кривая пересекает оси не только в точках но также в точках

Если эти точки более близки к центру, чем первые, т. е. если

то истинный радиус кривой равен не 1, как мы того хотим, . И нужно (см. предыдущий параграф), чтобы привести этот радиус к единице, взять новую переменную

и положить, кроме того, что превращает уравнение в уравнение такого же вида:

где

Мы получим, как это видно, все замкнутые кривые четвертой степени, симметричные и равные, для которых перемещение и имеет целое выражение относительно если будем придавать а в уравнении (211) только значения, заключенные между