§ 74. Первый пример. Случай, когда одна из сторон прямоугольника очень велика по сравнению с другой

Мы намерены уточнить выводы, чтобы получить правила и общеупотребительные таблицы.

Предположим вначале, что призма очень тонкая, т. е. одна из ее сторон основания очень велика сравнительно с другой стороной (рис. 36).

Рис. 36

Тогда в первом из двух выражений (161) крутящего момента показатели степени при значительны, и показательные функции, имеющие знак минус в показателе, могут быть отброшены, что сводит это выражение к

Пренебрегая вторым членом в скобках, содержащим -у, находим:

Равным образом получаем его из второго общего выражения (161) для поскольку показатели степени в этом случае очень малы (по крайней мере, в первых членах суммы, которые оказывают наибольшее влияние) и дробь можно разложить по их степеням посредством разложения показательных функций, за которым следует алгебраическое деление, что дает для этой дроби

Таким образом, пренебрегая пятой и более высокими степенями, получаем выражение

которое при учете того, что две суммы имеют соответственно значения , действительно сводится к

Если пытаться получить также приближенное выражение для продольного перемещения и, то первая формула (156) дает и если пренебречь суммой, так как в нее входит отношение -у, предполагаемое малым; мы получим то же самое из второй формулы (156), разлагая четыре показательные функции и сохраняя только два первых члена каждого разложения, так как при этом

где второй член в квадратных скобках равен в соответствии с формулой (155).

Однако это приближение давая представление о форме поверхности, недостаточно, чтобы получить значения сдвигов в различных ее точках, так как отсюда следует Последние выражения, будучи подставлены в дают т. е. величину, в два раза меньшую. Это происходит оттого, что имеют здесь плечи рычага у значительно более длинные, чем плечи z в так что, несмотря на относительную малость сдвигов их нельзя приравнять нулю без того, чтобы не сделать значительную ошибку.

Мы снова находим истинную величину полного момента для изучаемого случая, если принимаем несколько более приближенно т. е. если мы предполагаем, что изогнутая поверхность, полученная прямоугольным сечением после кручения 0, такая же, как и поверхность, полученная сечением вписанного эллиптического цилиндра (§§ 52, 57). Действительно, это выражение и, которое сводится к когда пренебрегают по сравнению с при сохранении дает как в § 53. Отсюда получаем выражение

которое действительно сводится к если пренебречь в конечном счете в знаменателе. Но нужно заметить, что выражения которые мы только что написали, всегда ошибочны для четырех углов, так как при они не дают нулевых сдвигов, как то получается по точным формулам (158), (159). Впрочем, имея в виду, что момент инерции равен выражение (164) момента можно записать следующим образом:

Оно совершенно такое же, как и выражение (116) § 53 для

эллипса, когда у в знаменателе ничтожно мало по сравнению с

Эта формула совпадет с выражением, данным Коши для прямоугольного сечения (§ 68).

Следовательно, результат анализа Коши является точным для весьма удлиненных прямоугольных сечений, т. е. для тонких призм. Мы увидим, что он применим для всех прямоугольных призм при условии, что в него входят численные коэффициенты, заключенные между 0,84 и 1.