§ 4. Краткое разъяснение формул давлений внутри твердых упругих тел. Зависимости между давлениями в различных направлениях в одной точке

Мы называем давлением на одной из двух сторон воображаемой малой плоской грани внутри подобного тела равнодействующую всех воздействий молекул, расположенных с этой стороны, на молекулы противоположной стороны, направления воздействий которых пересекают эту грань. Эта равнодействующая рассматривается как положительная,

когда она является равнодействующей сил притяжения (т. е. представляет, собственно говоря, напряжение или растяжение).

Из этого следует, что равнодействующая воздействий на молекулы многогранного элемента со стороны молекул, расположенных вне его, может быть тождественно заменена равнодействующей давлений на всех его гранях, так как, если давления включают в себя, кроме того, воздействия внешних молекул на другие внешние молекулы, направленные по линиям, которые пересекают две грани, то эти посторонние действия уничтожаются попарно при образовании общей равнодействующей.

Из данного определения следует, что давление на малой грани А является равнодействующей давлений, испытываемых тремя ее проекциями на три взаимно-перпендикулярные плоскости, проходящие через центр грани. В самом деле, число и полная интенсивность молекулярных воздействий, передающихся параллельно какой-либо прямой I через различные очень малые грани, имеющие одинаковый центр, очевидно, пропорциональны площади проекций этих граней на ту же плоскость перпендикулярную к прямой I, т. е. проекция А на всякую плоскость имеет площадь, равную сумме площадей проекций на ту же плоскость. Таким образом, поскольку давления возникают в результате сложения воздействий, проявляющихся по всем направлениям, постольку давления на представляют собой то же самое, что и давления на сложенные вместе.

Эта теорема Коши называется теоремой о проекциях плоскостей давления.

Из этого же определения и замечания также следует, что если мы обозначим через

составляющие давлений, приходящихся в той же точке на единицу поверхности малых плоскостей, перпендикулярных к прямоугольным осям х, у, z и имеющих одинаковый центр тяжести, то получаем:

при этом первый индекс указывает плоскость, нормальную к одноименной оси, а второй — направление разложения.

В самом деле, число и полная интенсивность молекулярных воздействий, передающихся параллельно той же произвольной прямой I через две небольшие грани, предполагаемые равновеликими и соответственно перпендикулярными к у и z, представляют как бы их проекции на ту же плоскость, перпендикулярную к I, т. е. Те же самые полные интенсивности воздействий при их разложении — на первой грани в направлении z и на второй в направлении у — дадут т. е. то же самое. Таким образом, когда давления возникают в результате сложения одинаковых воздействий по всем направлениям I, то мы видим, что давление на первую малую грань, разложенное перпендикулярно ко второй, имеет такую же интенсивность, что и давление на вторую грань, разложенное перпендикулярно к первой, что действительно дает а следовательно, также и два других аналогичных соотношения.

Эта теорема взаимности касательных составляющих также дана Коши.