§ 20. Соотношения между давлениями и внешними или объемными силами

В предыдущих параграфах (10—19) мы определили связи давлений, представляющих внутренние или взаимные силы, как между собой, так и с перемещениями. Нам остается установить их связи с внешними силами, действующими на тело.

Некоторые из этих сил действуют на отдельные точки или на поверхность. Мы ими займемся в § 22.

Другие силы, такие, как сила тяжести, проявляются во всех точках тела. Если мы рассмотрим только очень малый элемент его объема, то те силы, которые там действуют, должны уравновешивать давления, испытываемые его различными гранями, так как (§ 9) эти давления заменяют действия молекул, окружающих этот элемент со всех сторон. Итак, пусть: составляющие, параллельные осям внешних сил, действующих на единицу объема тела в точке с координатами х, у, z, от которых эти составляющие и зависят; малые размеры по осям х, у, z элемента твердого тела, который мы представляем в виде прямоугольного параллелепипеда, в котором точка находится в центре; как и в предыдущих параграфах, — шесть составляющих давления по координатным осям, отнесенных к единице поверхности трех плоских граней, перпендикулярных к осям, центр тяжести которых находится в той же точке

Две грани этого элемента, перпендикулярные к z (рис. 17), испытывают противоположные давления, которые, будучи разложены, например, в направлении х, будут одно несколько больше, другое несколько меньше давления, испытываемого параллельной гранью, проходящей через и которое равно на единицу площади Разница составит дифференциальный коэффициент умноженный на расстояние z между этими гранями, а также на их площади равнодействующая этих двух составляющих давления в направлении х будет равна

Рис. 17

Так как можно применить то же рассуждение для разностей давлений, разложенных в том же направлении х и действующих на четыре попарно взятые грани элемента, то мы получаем для равновесия при поступательном смещении элемента, испытывающего в противоположном направлении действие силы Ххуг, уравнение, в котором можно разделить все члены на объем элемента. Таким образом, получаем первое из трех следующих уравнений; два других получаются так же, когда мы выражаем условия равновесия при поступательных смещениях в направлениях

Эти три уравнения (30), данные впервые Коши и

являющиеся обобщением уравнений гидростатики, устанавливают искомые соотношения между производными давлений и объемными силами, действующими на все точки тела, либо твердого, либо жидкого, силами, в число которых, если имеется движение, следует включить силы инерции, составляющие которых будут где время, масса единицы объема.