§ 23. Подробное изложение вопроса для различных сечений. Окружность. Ложный эллипс (овал). Сечения с контуром девятой степени, которые искривляются точно по цилиндрической поверхности с основанием в виде кривой третьей степени, имеющей форму гуська

1) При круговом сечении, полагая получаем (выражения (77), (81), (82)):

Рис. 5, данный в качестве примера в § 21, относится, как мы сказали, к этому случаю. Разрез искривленной поверхности плоскостью или нормальной к оси, является вместе с линией неизменяемых волокон внешней окружностью к контуру сечения, и его уравнение приводится к

а радиус равен радиуса сечения.

Максимальное значение (84) и для части поверхности, соответствующей замкнутым кривым, составляет

при

так что оно, как мы объяснили в § 21, несколько выходит за пределы сечения, наибольшая ордината которого

Гусек, соответствующий разрезу поверхности плоскостью изгиба при имеет уравнение

Та же поверхность разрезана косыми плоскостями, проходящими через линию неизменяемых волокон по кривым, имеющим проекции на плоскость нормальную к оси призмы, в виде концентрических окружностей, поэтому сами эти кривые могут рассматриваться как те же окружности, ввиду малости наклона их плоскостей к плоскости Деформация сечения, таким образом, состояла в том, что концентрические окружности, сохраняя свой контур, только слегка и различным образом наклоняли свои плоскости, поворачиваясь вокруг линии неизменяемых волокон.

Рис. 6

При этом контур сечения оставался плоской кривой.

В соответствии с замечанием предыдущего параграфатаже самая искривленная поверхность подходит для всех контуров, представленных уравнением и имеющих одинаковую полуось с, если только остается также неизменным. В самом деле, без этого поверхности действительно имели бы те же разрезы, но с различной высотой, пропорциональной которая изменяется как Те из контуров, для которых не превышает с или даже отличаются весьма немного от эллипсов, имеющих такие же оси. Следовательно, эта поверхность подходит

также приближенно для эллиптических сечений, имеющих одинаковую полуось с и какие-либо полуоси которые меньше Это, между прочим, было бы видно равным образом из построения поверхностей, относящихся к некоторым из этих эллиптических контуров, или поверхностей с выражением (75) для и со значениями о которых мы только что упоминали.

2) Когда мы рассматриваем сечения, имеющие контур в виде ложного эллипса (овала) то свойство, о котором мы только что сообщили, проявляется не приближенно, а точно в соответствии с соображениями предыдущего параграфа. Следовательно, рис. 6, дающий для случая или форму искривленной поверхности, уравнение которой (при

подходит для всех ложных эллипсов (овалов), имеющих одинаковую полуось с и полуоси желаемой величины, когда эти кривые принимают за контуры сечений призм, которые подвергаются изгибу.

Кривая, которая охватывает другие кривые, является эллипсом, представленным уравнением

Часть разрезов действительно заключенная в сечениях, является почти прямой, когда не превышает с. Но она уже не прямая, когда Когда же получаем т. е. больше большой полуоси эллипса, охватывающего (83) замкнутые кривые, или когда контур сечения выходит из этого эллипса, искривленная поверхность имеет с каждой стороны линии неизменяемых волокон участки, которые загибаются на краях так, что проходят с другой стороны плоскости

3) Когда

Рис. 7

т. е. при криволинейный контур имеет девятую степень, рассматриваемую как четная (§ 18), а все разрезы поверхности плоскостями прямолинейны и параллельны между собой, как это видно на рис. 7, так как член с в этом случае исчезает, и уравнение поверхности (82) приводится к

или

откуда получаем для каждого значения, придаваемого и. Таким образом, плоскость сечения, контур которого определяется уравнением (59)

превращается в цилиндрическую поверхность с основанием в виде гуська или параболы третьей степени, представленной уравнением (87).