§ 12. Применение этих формул к растяжению призмы. Сопровождающие его поперечные сжатия. Коэффициент упругости

Сначала мы рассмотрим этот простой случай, поскольку уже на нем видны важные особенности изгиба призм.

Предположим, что во всех точках однородного тела произвольной формы шесть составляющих давления постоянны и равны заданным величинам. Шесть уравнений первой степени (4) или (7), или (8), или (10), которые устанавливают зависимости между ними и дадут для этих последних величин постоянные значения во всем теле. Можно будет всегда в соответствии с наити малые перемещения которые при этом удовлетворяли бы одновременно таким особым условиям, как неподвижность определенных точек и определенных элементов, считаемых закрепленными, так как нужно будет только приравнять линейным функциям координат х, у, z и определить двенадцать коэффициентов в этих функциях.

Три уравнения внутреннего равновесия в которых правые части приравниваем нулю, пренебрегая весом, также удовлетворяются линейными функциями координат х, у, z.

Итак, если даны давления на поверхность тела, то можно найти внутренние давления. Они устанавливаются из условия, что все элементы объема находятся в равновесии и что уравнения удовлетворены; задача, когда известны только эти внешние давления, полностью решается.

Предположим, например, что форма тела призматическая, что никакое давление не действует на его боковые грани, а его крайние основания испытывают на всех их элементах параллельно ребрам постоянное давление или растяжение с интенсивностью на единицу поверхности. Таким образом, при расположении оси х в направлении тех же ребер другие составляющие давлений, кроме равняются нулю на этих основаниях, как и на боковых гранях. Задача определения перемещений по этим данным будет решена,

если взять для выражения, которые для всего тела удовлетворяют условиям: Тогда составляющие давления будут иметь эти шесть значений как во внутренних точках, так и в точках на поверхности. Если приписать эти значения членам шести уравнений (4), то решение последних даст, если обозначить через значения тридцати шести (или пятнадцати) коэффициентов:

Все удлинения и сдвиги пропорциональны продольному растяжению

Отношение продольного растяжения к относительному продольному удлинению называется коэффициентом упругости при растяжении.

Если материал имеет в каждой точке плоскость симметрии, перпендикулярную к ребрам, то из уравнений (7) при следует, что т. е. призма остается прямой.

Если материал имеет три плоскости симметрии или главные плоскости, пересекающиеся по осям х, у, z, то, кроме того, получаем:

Коэффициенты выражений (которые мы вновь повторяем)

связаны с девятью (или шестью) коэффициентами первых трех уравнений (8)

тремя уравнениями

которые в случае изотропии приводят к соотношениям

или

если не оспаривают принципа (§ 7) равенства коэффициента при коэффициенту при Таким образом, коэффициент упругости растяжения в два с половиной раза больше коэффициента, который можно назвать коэффициентом упругости при сдвиге.

Всякое продольное удлинение сопровождается, как мы видим, поперечными сжатиями, которые находятся с первым в соотношениях когда нет нормального бокового давления, т. е.

Эти соотношения так же как и коэффициент остались бы прежними, если не равнялись нулю или если имелись бы на боковых гранях продольные трения, превращающие прямоугольную призму в слегка перекошенную.

Все эти выводы применимы, несмотря на атмосферное давление, которое действует на боковые грани, как и на основания, если определяются перемещения, за исключением тех весьма малых перемещений, которые уже произведены атмосферным давлением в телах в их обычном состоянии.