§ 21. Те же контуры. Искривленные поверхности, образованные первоначально плоскими сечениями. Их обычная топография

Если в общем уравнении поверхности, образованной вогнутыми сечениями, мы подставим вместо и функции их значения (58) — и (54), относящиеся к призмам, сечения которых имеют контуры, дающие для полином третьей степени (§ 18), то получим, освобождаясь для простоты от штрихов при у и z, выражение

Обозначим через значение ординаты и, которая соответствует Это значение в пределах сечения является обычно наибольшим. Получим:

и уравнение поверхности можно записать в таком виде:

Если дать последовательно различные значения 0,1; 0,2; 0,3 и т. д., то получим соответствующие выражения и для и, следовательно, желаемое количество разрезов поверхности плоскостями, перпендикулярными либо к оси у, либо к оси Если распространить их надлежащим образом в направлении и, то можно получить графически ряд разрезов эквидистантными плоскостями перпендикулярными к и или к касательной к изогнутой оси призмы, способом более легким, чем решение уравнений этих разрезов относительно у. Проектируя их на одну из этих плоскостей, например на плоскость получаем полную топографию поверхности.

Ее разрез плоскостью нормален к оси призмы и состоит из прямой линии неизменяемых волокон и кривой

Эта кривая является окружностью соответствующей случаю

Чтобы хорошо понять форму поверхности, разрезы распространены за пределы контуров различных сечений, круговых или овальных, которым они соответствуют (см. следующий параграф). Когда с одинаковым знаком или находится между (или между 0,1 и 0,9 при то кривая является эллипсом. А другие разрезы параллельными плоскостями, все более и более удаляющимися от разреза являются

замкнутыми кривыми, постепенно уменьшающимися и внутренними по отношению к предыдущим; они заключены между осью у и той или другой половиной эллипса, а именно между верхней половиной, соответствующей положительным значениям z при отрицательных значениях и, и нижней половиной, соответствующей отрицательным значениям z при положительных значениях и.

Рис. 5

Они сводятся в точку максимума, выходящую несколько за контур сечений для значений соответствующих т.е. для

Те же плоскости разрезают также поверхность (82) по бесконечным кривым, расположенным вне половины эллипса (83) в противоположной стороне от замкнутой кривой; эти бесконечные кривые имеют с обеих сторон ось у в качестве асимптоты.

Последние кривые принадлежат обычно только к воображаемому продолжению поверхности вне контура

сечения, которое остается в эллипсе (83), охватывающем замкнутые кривые, за исключением довольно редких случаев, когда как бывает, например, у концов наибольшего овального контура.

Когда (или когда при разрез состоит из прямой линии и гиперболы, которая представлена в этом случае уравнением (83). Все другие разрезы являются бесконечными кривыми, части которых, заключенные в контуре сечения, обычно почти сливаются с прямыми, параллельными оси у.

В частном случае, при все разрезы сводятся к параллельным прямым (см. § 23).

Разрезы той же поверхности плоскостями т. е. плоскостями, перпендикулярными к z или параллельными одновременно линии неизменяемых волокон и касательной и к изогнутой оси, являются параболами с осью, параллельной этой касательной или расположенной в плоскости изгиба. Они не изображены на рисунке.

Можно также рассмотреть весьма замечательные разрезы той же поверхности косыми плоскостями, проходящими через ось у. Все эти разрезы, спроектированные на плоскость нормальную к оси призмы, являются концентрическими коаксиальными и подобными эллипсами, когда (полагаемое больше меньше они становятся гиперболами, когда (или когда находится между 0,9 и 1 при Это окружности при круговом сечении.

Но самыми интересными для механики являются разрезы той же искривленной поверхности плоскостью изгиба или и различными плоскостями которые ей параллельны.

Наметим и произведем три разреза придавая некоторое значение, чтобы сделать форму разрезов более наглядной.

Это кубические параболы, изогнутые в виде гуська, точка перегиба которого соответствует т. е. находится на линии неизменяемых волокон; каждая половина этих кривых имеет в уменьшенном размере точно такую же форму, которую принимает изогнутая ось призмы, если она защемлена одним концом, а на другой ее конец действует только

перпендикулярная к оси сила Наибольшая ордината этих разрезов, начиная с постепенно уменьшается: она обращается в нуль при и далее, как видно из случая разрез изменяет свое положение относительно плоскости

Полученные кривые действительно показывают, что сдвиг имеет наибольшее значение в центре Во всяком другом месте, за исключением этой точки, наклон разрезов относительно касательной к изогнутой оси не равен наклону волокна к сечению в направлении оси он отличается на малую величину, которая определяется из второго выражения (51), возникшего, как мы заметили в § 17, вследствие незначительных изменений поперечных сжатий от одного сечения к другому. Это объясняет также, почему максимум и (выражение или разрез, превратившийся в точку, приходится несколько за пределами сечения, т. е. соответствует вместо того, чтобы соответствовать вершинам для которых и волокно нормально к сечению.