§ 65. Случай, когда сечение симметрично, а силы распределены симметрично по отношению к одной из двух осей у или z или по отношению к обеим осям

В этом случае сначала можно упростить выражение (129) таким образом, чтобы облегчить разыскание его коэффициентов.

Рис. 33.

Действительно, пусть сечение (рис. 33) симметрично относительно оси Пусть, далее, будет симметрия и относительно сил, создающих кручение, так что каждой паре , приложенной в плоскости, расположенной несколько выше, соответствует в той же плоскости пара равных сил, действующих на конце одинакового плеча

рычага относительно оси О и составляющих тот же угол с осью а на таком же расстоянии с другой стороны этого сечения имеются равные силы по линиям, проекции которых на были бы направлены прямо противоположно проекциям сил Точки верхней половины В сечения помещены по отношению к первым парам, действующим, например, на той стороне сечения, для которой считают перемещения и положительными, таким же образом, что и соответствующие точки нижней половины по отношению ко вторым парам, которые действуют со стороны отрицательных и.

Если, следовательно (как мы это предполагали в § 51), эти продольные перемещения точек сечения вызываются только кручением, то и должно быть одинаково по величине в этих двух точках, соответствующих координаты которых отличаются только знаком при

Итак:

1) Если имеется симметрия относительно оси у, то выражение для и должно сохранить ту же величину при изменении знака, когда в нем меняют z на

Это условие уничтожает коэффициенты и сводит выражение (129) к

2) Если имеется симметрия относительно только одной оси z, то и должно также изменяться по знаку, а не по величине, когда подставляют —у вместо у; это требует, чтобы каждому члену соответствовал член где так что, объединяя их, имеем и чтобы для каждого члена имелся член в котором таким образом, получаем:

Можно было бы принять также

3) Если имеется симметрия относительно двух осей одновременно, то и должно изменяться по знаку, но не по величине, когда подставляют либо —у вместо у, либо вместо z, и эти выражения должны иметь вид

Это выражение можно было бы, очевидно, записать следующим образом:

где будут обычно иметь значения, отличные от предыдущих.

Равным образом можно видеть, что: 4) Если сечение симметрично относительно двух осей у и z или не симметрично, но одинаково по у и по z, так что оно совпадает с самим собой, когда его поворачивают на четверть оборота относительно центра О, в котором пересекаются оси, как это видно на рис. 34, и если приложенные силы одинаковы по у и по z, то и должно быть одинаково в точках если

Рис. 34

Следовательно, выражение и не должно изменяться ни по величине, ни по знаку, когда мы заменим у на на —у или у на на у.